Minor (aljabar linear)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam aljabar linear, sebuah minor dari matriks adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, dipotong dari dengan menghapus satu atau lebih dari baris dan kolomnya. Minor diperoleh dengan menghapus hanya satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung kedua determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi dan ilustrasi[sunting | sunting sumber]

Minor pertama[sunting | sunting sumber]

Jika adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri dalam baris ke- dan kolom ke- (juga disebut minor , atau sebuah minor pertama[1]) adalah determinan dari submatriks dibentuk dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-. Bilangan ini seringkali dilambangkan .Kofaktor diperoleh dengan mengalikan minor oleh .

Untuk mengilustrasikan definis-definisi ini, tinjau matriks 3 kali 3 berikut,

Untuk menghitung minor dan kofaktor , kita menemukan determinan dari matriks di atas dengan baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan.

Jadi kofaktor dari entri adalah

Definisi umum[sunting | sunting sumber]

Misalkan menjadi sebuah matriks adalah sebuah bilangan bulat dengan , dan . Sebuah minor dari , juga disebut determinan minor dari urutan dari atau, jika , determinan minor ke- dari (kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "urutan") adalah determinan dari sebuah matriks diperoleh dari dengan menghapuskan baris dan kolom . Terkadang syaratnya digunakan untuk merujuk ke matriks diperoleh dari seperti di diatas (dengan menghapuskan baris dan kolom )., tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini. Untuk sebuah matriks seperti di atas, terdapat sebuah total dari minor dari ukuran . Minor dari urutan nol sering didefinisikan menjadi . Untuk sebuah persegi matriks, minor kenol hanay determinan dari matriks.[2][3]

Misalkan dan menjadi barisan yang diurutankan (dalam urutan alami, seperti biasanya diasumsuikan ketika berbicara tentang minor kecuali dinyatakan lain) dari indeks, sebut mereka dan , masing-masing. Minor sesuai dengan pilihan-pilihan ini dari indeks dilambangkan atau atau atau atau (dimana melambangkan barisan indeks , dan seterusnya), bergantung pada sumber. Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks dan , beberapa penulis[4] bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di dan kolom yang indeksnya ada di , sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke dan determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam dan kolom dalam .[2] Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris dan kolom . Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke- dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.

Komplemen[sunting | sunting sumber]

Komplemen, , dari sebuah minor , dari sebuah matriks persegi, , dibentuk oleh determinan dari matriks dari mana semua baris dan kolom dikaitkan dengan telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota hanyalah anggota itu.[5]

Penerapan minor dan kofaktor[sunting | sunting sumber]

Ekspansi kofaktor dari determinan[sunting | sunting sumber]

Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks yaitu , determinan , dilambangkan , bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- memberikanː

Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- memberikanː

Invers dari sebuah matriks[sunting | sunting sumber]

Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi disebut matriks kofaktor (juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks

Maka invers dari transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan ː

Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat (juga disebut adjoin klasik) dari .

Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan dan menjadi barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini adalah sebuat matriks ). Maka[6]

di mana dan melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi , , sehingga setiap indeks muncul tepat sekali di salah satu atau , tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk dan ) dan melambangkan determinan dari submatriks dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks dan kolom dari himpunan indeks . Juga . Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,

di mana adalah vektor basis. Tindakan oleh ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan

Tandanya bisa berhasil menjadi , jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di dan .

Penerapan lainnya[sunting | sunting sumber]

Diberikan sebuah matriks dengan entri-entri real (atau entri-entri dari setiap bidang lainnya) dan rank , maka terdapat setidaknya satu minor tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika adalah sebuah matriks , adalah himpunan bagian dari dengan anggota , dan adalah himpunan bagian dari dengan anggota , maka kita menulis untuk minor pada yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam dan kolom dengan indeks dalam .

  • Jika , maka disebut minor utama.
  • Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari hingga ), maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka (dari urutan ) atau minor sudut (utama) (dari urutan ).[3] Untuk sebuah matriks persegi , terdapat minor utama terkemuka .
  • Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.[3]
  • Untuk matriks Hermitian, minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif. Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan adalah sebuah matriks , adalah sebuah matriks , adalah himpunan bagian dari dengan anggota dan adalah himpunan bagian dari dengan anggota . Maka

di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian dari dengan anggota . Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Pendekatan aljabar multilinear[sunting | sunting sumber]

Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam aljabar multilinear, menggunakan produk wedge, minor- dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke-.

Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama pada satu waktu, minor muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor . Sebagai contoh, minor dari matriks

adalah (dari dua baris pertama), (dari baris pertama dan terakhir), dan (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge

di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu bilinear dan bergantian,

dan antisimteris

kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi

di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.

Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda[sunting | sunting sumber]

Dalam beberapa buku, daripada kofaktor , istilah adjunct digunakan.[7] Bahkan, ini dilambangkan sebagai dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː

Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.

Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, operator adjoin.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
  2. ^ a b Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  3. ^ a b c "Minor". Encyclopedia of Mathematics. 
  4. ^ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
  5. ^ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
  6. ^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. hlm. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6. 
  7. ^ Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

Tautan eksternal[sunting | sunting sumber]