Minor (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, sebuah minor dari matriks $\mathbf {A}$ adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris dan kolom matriks $\mathbf {A}$. Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi dan ilustrasi

Minor pertama

Jika $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri dalam baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ adalah determinan dari submatriks dibentuk dengan menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Determinan ini juga disebut dengan minor $(i,j)$, atau sebuah minor pertama. Bilangan ini seringkali dilambangkan $M_{i,j}$. Kofaktor $(i,j)$ diperoleh dengan mengalikan minor oleh $(-1)^{i+j}$.

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi ini, tinjau matriks 3 kali 3 berikut,

${\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}$

Untuk menghitung minor $M_{2,3}$ dan kofaktor $C_{2,3}$, kita perlu menemukan determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus.

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13$

Jadi kofaktor dari entri $(2,3)$ adalah

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

Definisi umum

Misalkan $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks berukuran $m\times n$ dan $k$ adalah sebuah bilangan bulat dengan $0<k\leq m$, dan $k\leq n$. Sebuah minor $k\times k$ dari $\mathbf {A}$ adalah determinan dari sebuah matriks berukuran $k\times k$ yang diperoleh dengan menghapus $(m-k)$ baris dan $(n-k)$ kolom dari $\mathbf {A}$. Determinan ini juga disebut determinan minor dengan orde $k$ dari $\mathbf {A}$, atau jika $m=n$, disebut dengan determinan minor ke-$(n-k)$ dari $\mathbf {A}$ (kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde"). Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks $k\times k$ yang diperoleh dari $\mathbf {A}$ dengan cara di atas (yakni dengan menghapus $(m-k)$ baris dan $(n-k)$ kolom), tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini.

Untuk matriks $\mathbf {A}$ di atas, terdapat ${m \choose k}\cdot {n \choose k}$ minor berukuran $k\times k$. Minor dengan orde nol sering didefinisikan bernilai $1$. Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol hanyalah determinan dari matriks.

Misalkan $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ dan $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ adalah suatu barisan terurut dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai $I$ dan $J$. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor

$$\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$$

yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebut adalah $\det _{I,J}A$, $[A]_{I,J}$, $M_{I,J}$, $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$, atau $M_{(i),(j)}$ (dengan $(i)$ melambangkan barisan indeks $I$, dan seterusnya). Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks $I$ dan $J$, beberapa penulis bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di $I$ dan kolom yang indeksnya ada di $J$, sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke $I$ dan $J$ determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam $I$ dan kolom dalam $J$. Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris $I$ dan kolom $J$. Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke-$(i,j)$ dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif $M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)$ standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.

Komplemen

Komplemen, $B_{ijk\dots ,pqr\dots }$, dari sebuah minor $M_{ijk\dots ,pqr\dots }$, dari sebuah matriks persegi, $\mathbf {A}$, dibentuk oleh determinan dari matriks $\mathbf {A}$ dari mana semua baris $(ijk\dots )$ dan kolom $(pqr\dots )$ dikaitkan dengan $M_{ijk\dots ,pqr\dots }$ telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota $a_{ij}$ hanyalah anggota itu.

Penerapan minor dan kofaktor

Ekspansi kofaktor dari determinan

Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks $n\times n$ yaitu $A=(a_{ij})$, determinan $A$, dilambangkan $\det {(A)}$, bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-$j$ memberikanː

Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-$i$ memberikanː

$\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}$

Invers dari sebuah matriks

Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi $\mathbf {A}$ disebut matriks kofaktor (juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks)ː

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}$

Maka invers dari $\mathbf {A}$ transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan $A$ː

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$

Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat (juga disebut adjoin klasik) dari $\mathbf {A}$.

Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ dan menjadi $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini $\mathbf {A}$ adalah sebuat matriks $n\times n$). Maka

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},$

di mana $I'$ dan $J'$ melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi $I$, $J$, sehingga setiap indeks $1,\dots ,n$ muncul tepat sekali di salah satu $I$ atau $I'$, tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk $J$ dan $J'$) dan $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ melambangkan determinan dari submatriks $\mathbf {A}$ dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks $I$ dan kolom dari himpunan indeks $J$. Juga $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$. Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},$

di mana $e_{1},\dots ,e_{n}$ adalah vektor basis. Tindakan oleh $\mathbf {A}$ ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan

$[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).$

Tandanya bisa berhasil menjadi $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$, jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di $I$ dan $J$.

Penerapan lainnya

Diberikan sebuah matriks $m\times n$ dengan entri-entri real (atau entri-entri dari setiap bidang lainnya) dan rank $r$, maka terdapat setidaknya satu minor $r\times r$ tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika $\mathbf {A}$adalah sebuah matriks $m\times n$, $I$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,m\}$ dengan anggota $k$, dan $J$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,n\}$ dengan anggota $k$, maka kita menulis $\left[A\right]_{I,J}$ untuk minor $k\times k$ pada $\mathbf {A}$ yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam $I$ dan kolom dengan indeks dalam $J$.

• Jika $I=J$, maka $\left[A\right]_{I,J}$ disebut minor utama.
• Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari $1$ hingga $k$), maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka (dari urutan $k$) atau minor sudut (utama) (dari urutan $k$). Untuk sebuah matriks persegi $n\times n$, terdapat minor utama terkemuka $n$.
• Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.
• Untuk matriks Hermite, minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif. Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan $\mathbf {A}$ adalah sebuah matriks $m\times n$, $\mathbf {B}$ adalah sebuah matriks $n\times p$, $I$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,m\}$ dengan anggota $k$ dan $J$ adalah himpunan bagian dari $\{1,\dots ,p\}$ dengan anggota $k$. Maka

$[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,$

di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian $K$ dari $\{1,\dots ,n\}$ dengan anggota $k$. Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Pendekatan aljabar multilinear

Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam aljabar multilinear, menggunakan produk wedge, minor-$k$ dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke-$k$.

Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama $k$ pada satu waktu, minor $k\times k$ muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor $k$. Sebagai contoh, minor $2\times 2$ dari matriks

${\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

adalah $-13$ (dari dua baris pertama), $-7$ (dari baris pertama dan terakhir), dan $5$ (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge

$(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})$

di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu bilinear dan bergantian,

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,$

dan antisimteris

$\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},$

kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi

$-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}$

di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.

Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda

Dalam beberapa buku, daripada kofaktor , istilah adjunct digunakan. Bahkan, ini dilambangkan sebagai $\mathbf {A} _{ij}$ dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː

$\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}$

Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.

$\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, operator adjoin.

Lihat pula

• Submatriks

Pranala luar

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors Diarsipkan 2012-04-08 di Wayback Machine.
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor