Lemma Zorn

Lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa setiap grafik yang terhubung memiliki pohon rentang. Himpunan semua sub-grafik yang merupakan pohon diurutkan dengan penyertaan, dan penyatuan rantai adalah batas atas. Lemma Zorn mengatakan bahwa pohon maksimal harus ada, yaitu pohon rentang sejak grafik terhubung. Lemma Zorn tidak diperlukan untuk grafik terbatas, seperti yang digambarkan di sini.

Lemma Zorn, juga dikenal sebagai Kuratowski–Zorn lemma, diambil dari nama Max Zorn dan Kazimierz Kuratowski, adalah proposisi dari teori himpunan. Ini menyatakan bahwa himpunan terurut sebagian berisi batas atas untuk setiap kaidah (yaitu, setiap terurut total himpunan bagian harus berisi setidaknya satu elemen maksimal.

Dibuktikan oleh Kuratowski pada tahun 1922 dan secara independen oleh Zorn pada tahun 1935, ini lemma muncul dalam bukti beberapa teorema yang sangat penting, misalnya Teorema Hahn–Banach dalam analisis fungsional, teorema bahwa setiap ruang vektor memiliki basis, Teorema Tychonoff dalam topologi yang menyatakan bahwa setiap hasil kali ruang kompak adalah kompak, dan teorema dalam aljabar abstrak bahwa dalam cincin dengan identitas setiap ideal yang tepat terkandung dalam ideal maksimal dan bahwa setiap bidang memiliki aljabar tertutup.

Lemma Zorn setara dengan teorema yang tertata dengan baik dan juga aksioma pilihan, dalam arti bahwa salah satu dari ketiganya, bersama dengan aksioma Zermelo–Fraenkel dari teori himpunan, cukup untuk membuktikan dua lainnya. Rumusan awal dari lemma Zorn adalah prinsip maksimum Hausdorff yang menyatakan bahwa setiap total himpunan bagian dari himpunan berurutan sebagian terdapat dalam himpunan bagian terurut total maksimal dari himpunan order sebagian.

Motivasi

Untuk membuktikan keberadaan objek matematika yang dapat dilihat sebagai elemen maksimal dalam beberapa poset dalam beberapa cara, seseorang dapat mencoba membuktikan keberadaan objek tersebut dengan mengasumsikan tidak ada elemen maksimal dan menggunakan induksi transfinite dan asumsi situasinya untuk mendapatkan kontradiksi. Lemma Zorn merapikan kondisi yang perlu dipenuhi situasi agar argumen seperti itu berfungsi dan memungkinkan matematikawan tidak harus mengulangi argumen induksi transfinite dengan tangan, tapi periksa saja kondisi lemma Zorn.

Jika Anda sedang membangun objek matematika secara bertahap dan menemukan bahwa (i) Anda belum menyelesaikannya bahkan setelah banyak tahapan, dan (ii) sepertinya tidak ada yang menghentikan Anda untuk terus membangun, maka lemma Zorn mungkin dapat membantu Anda.

— William Timothy Gowers, "Cara menggunakan lemma Zorn"

Pernyataan lemma

Lemma Zorn dapat dinyatakan sebagai:

Lemma Zorn — Misalkan sebuah himpunan terurut sebagian P memiliki properti bahwa setiap Kaidah di P memiliki batas atas di P . Kemudian himpunan P berisi setidaknya satu elemen maksimal.

Varian dari formulasi ini terkadang digunakan, seperti mensyaratkan himpunan P dan rantai tidak kosong.

Lemma Zorn (untuk himpunan yang tidak kosong) — Misalkan himpunan terurut sebagian yang tidak kosong P memiliki properti bahwa setiap rantai yang tidak kosong memiliki batas atas dalam P . Kemudian set P berisi setidaknya satu elemen maksimal.

Meskipun formulasi ini tampaknya secara formal lebih lemah (karena menempatkan pada P kondisi tambahan yang tidak kosong, tetapi diperoleh kesimpulan yang sama tentang P ), ternyata kedua formulasi tersebut setara. Untuk memverifikasi ini, anggap pertama bahwa P memenuhi syarat bahwa setiap kaidah di P memiliki batas atas di P . Kemudian subset kosong dari P adalah sebuah rantai, karena ia memenuhi definisi hampa; jadi hipotesis menyiratkan bahwa himpunan bagian ini harus memiliki batas atas di P , dan batas atas ini menunjukkan bahwa P sebenarnya tidak kosong. Sebaliknya, jika P diasumsikan tidak kosong dan memenuhi hipotesis bahwa setiap kaidah yang tidak kosong memiliki batas atas pada P , maka P juga memenuhi syarat bahwa setiap kaidah memiliki batas atas, sebagai elemen sembarang P berfungsi sebagai batas atas untuk kaidah kosong (yaitu, subset kosong dipandang sebagai sebuah kaidah).

Perbedaannya mungkin tampak tidak kentara, tetapi dalam banyak bukti yang menggunakan lemma Zorn, seseorang membutuhkan semacam serikat untuk menghasilkan batas atas, sehingga kasus kaidah kosong dapat diabaikan; artinya, verifikasi bahwa semua rantai memiliki batas atas mungkin harus menangani kaidah kosong dan tidak kosong secara terpisah. Begitu banyak penulis lebih memilih untuk memverifikasi non-kekosongan himpunan P daripada berurusan dengan kaidah kosong dalam argumen umum.

Contoh aplikasi

Lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa setiap cincin nontrivial R dengan kesatuan mengandung ideal maksimal.

Misalkan P menjadi himpunan yang terdiri dari semua (dua sisi) ideal di R kecuali R itu sendiri. R yang ideal dikeluarkan karena cita-cita maksimal menurut definisi tidak sama dengan R . Karena R tidak sepele, himpunan P berisi ideal sepele {0}, dan karena itu P tidak kosong. Selanjutnya, P sebagian diurutkan oleh set inklusi (lihat urutan penyertaan). Menemukan ideal maksimal dalam R sama dengan mencari elemen maksimal dalam P .

Untuk menerapkan lemma Zorn, ambil rantai T di P (yaitu, T adalah bagian dari P yang diurutkan seluruhnya). Jika T adalah himpunan kosong, maka ideal sepele {0} adalah batas atas untuk T dalam P . Asumsikan bahwa T tidak kosong. Perlu untuk menunjukkan bahwa T memiliki batas atas, yaitu, ada ideal I ⊆ R yang lebih besar dari semua anggota T tetapi masih lebih kecil dari R (jika tidak, tidak akan ada di P ). Anggap I sebagai union dari semua idealisme di T . Kami ingin menunjukkan bahwa I adalah batas atas untuk T dalam P . Kami pertama-tama akan menunjukkan bahwa I adalah ideal dari R , dan kemudian itu adalah ideal yang tepat dari R dan begitu juga elemen dari P . Karena setiap elemen T terkandung dalam I , ini akan menunjukkan bahwa I adalah batas atas untuk T dalam P , seperti yang diperlukan.

Karena T berisi setidaknya satu elemen, dan elemen itu berisi setidaknya 0, gabungan I berisi setidaknya 0 dan tidak boleh kosong. Untuk membuktikan bahwa I adalah ideal, perlu diketahui bahwa jika a dan b adalah elemen I , maka terdapat dua ideal J , K ∈ Tsedemikian rupa sehingga a adalah elemen dari J dan b adalah elemen dari K. Karena T benar-benar diurutkan, kita tahu bahwa J ⊆ K atau K ⊆ J . Dalam kasus pertama, baik a dan b adalah anggota ideal K , oleh karena itu jumlah mereka a + b adalah anggota K , yang menunjukkan bahwa a + b adalah anggota dari I . Dalam kasus kedua, baik a dan b adalah anggota ideal J , dan dengan demikian a + b ∈ I . Selanjutnya, jika r ∈ R , maka ar dan ra adalah elemen dari J dan karenanya elemen I . Jadi, I adalah ideal pada R .

Sekarang, sebuah ideal sama dengan R jika dan hanya jika ia mengandung 1. (Jelas bahwa jika itu sama dengan R , maka itu harus berisi 1; di sisi lain, jika mengandung 1 dan r adalah elemen sembarang dari R , maka r1 = r adalah elemen ideal, dan ideal adalah sama dengan R .) Jadi, jika I sama dengan R , maka itu akan berisi 1, dan itu berarti salah satu anggota T akan berisi 1 dan dengan demikian akan sama dengan R , tapi R secara eksplisit dikecualikan dari P .

Hipotesis lemma Zorn telah diperiksa, dan dengan demikian terdapat elemen maksimal di P , dengan kata lain ideal maksimal di R .

Pembuktian bergantung pada fakta bahwa cincin R memiliki satuan perkalian 1. Tanpa ini, pembuktian tidak akan berhasil dan memang pernyataan itu salah. Misalnya gelanggang dengan $\mathbb {Q}$ sebagai grup penjumlahan dan perkalian trivial (yaitu $ab=0$ untuk $a,b$) tidak memiliki cita-cita maksimal (dan tentu saja tidak ada 1): ideal tepatnya adalah subkelompok aditif. Grup faktor $\mathbb {Q} /A$ oleh subgrup yang tepat $A$ adalah grup yang dapat dibagi, oleh karena itu tentu saja bukan dihasilkan secara terbatas, karenanya memiliki subgrup non-trivial yang tepat, yang memunculkan subgrup dan ideal yang berisi $A$.

Sketsa bukti

Sketsa bukti lemma Zorn berikut, dengan asumsi aksioma pilihan. Misalkan lemma salah. Kemudian ada himpunan terurut sebagian, atau poset, P sedemikian rupa sehingga setiap himpunan bagian yang dipesan seluruhnya memiliki batas atas, dan untuk setiap elemen di P ada elemen lain yang lebih besar darinya. Untuk setiap subset terurut total T kita kemudian dapat mendefinisikan elemen yang lebih besar b ( T ), karena T memiliki batas atas, dan batas atas itu memiliki elemen yang lebih besar. Untuk benar-benar mendefinisikan fungsi b , kita perlu menggunakan aksioma pilihan.

Menggunakan fungsi b , kita akan mendefinisikan elemen a₀ < a₁ < a₂ < a₃ < ... di P . Urutan ini adalah sangat panjang: indeksnya bukan hanya bilangan asli, tetapi semua ordinal. Faktanya, urutannya terlalu panjang untuk himpunan P ; ada terlalu banyak ordinal (sebuah kelas sesuai), lebih dari jumlah elemen di set mana pun, dan set P akan habis tak lama kemudian dan kemudian kita akan mengalami kontradiksi yang diinginkan.

a_i didefinisikan oleh rekursi transfinite: kami memilih a₀ di P sewenang-wenang (ini dimungkinkan, karena P berisi batas atas untuk himpunan kosong dan karenanya tidak kosong) dan untuk ordinal lainnya w ke himpunan a_w = b({a_v : v < w}). Karena a_v benar-benar tertata, ini adalah definisi yang beralasan.

Bukti ini menunjukkan bahwa sebenarnya versi lemma Zorn yang sedikit lebih kuat adalah benar:

Lemma — Jika P adalah poset di mana setiap subset tersusun rapi memiliki batas atas, dan jika x adalah elemen apa pun dari P , maka P memiliki elemen maksimal lebih dari atau sama dengan x. Artinya, ada elemen maksimal yang sebanding x.

Dalam budaya populer

Film tahun 1970, Zorns Lemma , dinamai menurut lemma.

Lemma ini direferensikan di The Simpsons di episode tersebut "Bart's New Friend".

Lihat pula

• Teorema ekstensi Szpilrajn
• Keterbatasan Tarski
• Lemma Teichmüller–Tukey (terkadang disebut lemma Tukey)

Referensi

• Campbell, Paul J. (February 1978). "The Origin of 'Zorn's Lemma'". Historia Mathematica. 5 (1): 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2. 
• Ciesielski, Krzysztof (1997). Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59465-3. 
• Jech, Thomas (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8. 
• Moore, Gregory H. (2013) [1982]. Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Zorn lemma", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Zorn's Lemma at ProvenMath contains a formal proof down to the finest detail of the equivalence of the axiom of choice and Zorn's Lemma.
• Zorn's Lemma at Metamath is another formal proof. (Unicode version for recent browsers.)