Matriks simetrik

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks didefinisikan matriks simetrik jika . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal menyatakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-. Matriks simetrik jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran  :

Sifat[sunting | sunting sumber]

Sifat dasar[sunting | sunting sumber]

  • Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik
  • Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks dan , matriks bersifat simetrik jika dan hanya jika dan saling komutatif, yakni, jika .
  • Untuk bilangan bulat , matriks simetrik jika matriks simetrik.
  • Jika ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring[sunting | sunting sumber]

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal menyatakan ruang matriks ukuran . Jika adalah ruang matriks simetrik ukuran dan adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran , maka dan ; yakni,

dengan adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal . Matriks dapat dinyatakan sebagai

.

Perhatikan bahwa dan . Hal ini benar untuk semua matriks persegi dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik[sunting | sunting sumber]

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika adalah matriks simetrik, begitu pula matriks untuk sebarang matriks .

Daftar pustaka[sunting | sunting sumber]

  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]