Matriks simetrik

Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks, lihat Matriks Hermite.

Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks $A$didefinisikan matriks simetrik jika $A=A^{\text{T}}$. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal $a_{ij}$ menyatakan elemen matriks $A$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Matriks $A$ simetrik jika dan hanya jika untuk setiap $i,\,j$ berlaku $a_{ij}=a_{ji}$.

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran $3\times 3$ :

$A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}$

Sifat

Sifat dasar

• Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

• Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks $A$ dan $B$, matriks $AB$ bersifat simetrik jika dan hanya jika $A$ dan $B$ saling komutatif, yakni, jika $AB=BA$.

• Untuk bilangan bulat $n$, $A^{n}$ matriks simetrik jika $A$ matriks simetrik.

• Jika $A^{-1}$ ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika $A$ simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal ${\mbox{Mat}}_{n}$ menyatakan ruang matriks ukuran $n\times n$. Jika ${\mbox{Sym}}_{n}$ adalah ruang matriks simetrik ukuran $n\times n$ dan ${\mbox{Skew}}_{n}$ adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran $n\times n$, maka ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ dan ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$; yakni,

${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$

dengan $\oplus$ adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$. Matriks $X$ dapat dinyatakan sebagai

$X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)$.

Perhatikan bahwa ${\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}$ dan ${\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}$. Hal ini benar untuk semua matriks persegi $X$ dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika $X$ adalah matriks simetrik, begitu pula matriks $AXA^{\mathrm {T} }$ untuk sebarang matriks $A$.

Daftar pustaka

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
• How to implement a Symmetric Matrix in C++