Konjugat kompleks

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Representasi geometrik (diagram Argand) dari dan konjugatnya, , di bidang kompleks. Konjugat kompleks dihasilkan dengan merefleksikan terhadap sumbu real.

Dalam matematika, konjugat kompleks dari suatu bilangan kompleks adalah bilangan yang memiliki bagian real yang sama dan bagian imajiner yang sama namun berbeda tanda. Dengan kata lain, (jika dan bilangan real, maka) konjugat kompleks dari adalah Konjugat kompleks dari umum dinyatakan sebagai Dalam bentuk polar, konjugat dari adalah Hal ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan rumus Euler.

Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan berupa bilangan real (atau dalam koordinat polar).

Jika suatu polinomial satu variabel memiliki akar berupa bilangan kompleks, maka konjugat kompleksnya juga merupakan akar polinomial tersebut.

Notasi[sunting | sunting sumber]

Konjugat kompleks dari sebuah bilangan kompleks ditulis sebagai atau Notasi yang pertama umum digunakan di matematika untuk menghindari kebingungan dengan notasi untuk transpos konjugat dari sebuah matriks, yang dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Notasi yang kedua umum ditemukan di fisika, sedangkan simbol dagger (†) digunakan untuk menyatakan transpos konjugat; juga di bidang teknik listrik dan teknik komputer, yang notasi bar dapat dibingungkan dengan dengan simbol aljabar Boolean untuk negasi ("NOT").

Sifat[sunting | sunting sumber]

Sifat-sifat berikut berlaku untuk sembarang bilangan kompleks dan kecuali dinyatakan sebaliknya, dan dapat dibuktikan dengan menuliskan dan dalam bentuk

  • Untuk sembarang dua bilangan kompleks, konjugat bersifat distributif terhadap penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian:[1]
  • Bilangan kompleks akan bernilai sama dengan konjugat kompleksnya jika bagian imajinernya bernilai nol, atau dengan kata lain, ketika bilangan tersebut real. Hal ini mengartikan bilangan real adalah satu-satunya titik tetap konjugat.
  • Konjugat tidak akan mengubah modulus dari bilangan kompleks:
  • Konjugat adalah suatu involusi, yakni, konjugat dari konjugat dari suatu bilangan kompleks adalah Dalam bentuk simbol, [1]
  • Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan bernilai sama dengan kuadrat modulus bilangan tersebut. Hal ini memungkinkan perhitungan mudah untuk invers perkalian bilangan kompleks dalam koordinat kartesius:
  • Konjugat bersifat komutatif ketika dikomposisikan dengan perpangkatan bilangan bulat, dengan fungsi eksponen, dan dengan fungsi logaritma alami (jika argumennya tidak bernilai nol):
  • Jika adalah suatu polinomial dengan koefisien real dan maka . Jadi, akar-akar kompleks dari polinomial real akan muncul dalam bentuk pasangan konjugat kompleks.[2]

Penggunaan sebagai variabel[sunting | sunting sumber]

Konjugat kompleks dapat digunakan untuk membangun representasi atau dari bilangan kompleks :

  • Bagian real:
  • Bagian imajiner:
  • Modulus (atau nilai mutlak):
  • Argumen: maka

Lebih lanjut, dapat digunakan untuk menyatakan garis pada bidang: himpunan adalah garis yang melalui titik asal dan tegak lurus dengan karena bagian real dari bernilai nol hanya jika kosinus sudut antara dan bernilai nol. Serupa dengan itu, untuk satuan (unit) kompleks yang ditetapkan, persamaan

merepresentasikan garis yang melalui , dan paralel dengan garis yang melalui 0 dan

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Linear Algebra (edisi ke-5), ISBN 978-0134860244 , Appendix D
  2. ^ Anthony G. O'Farell and Gary McGuire (2002). "Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials". Maynooth Mathematical Olympiad Manual. Logic Press. hlm. 104. ISBN 0954426908.  Preview available at Google books

Daftar pustaka[sunting | sunting sumber]

  • Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).