Polinomial karakteristik

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik matriks persegi merupakan sebuah polinomial yang invarian di bawah kesebangunan matriks dan memiliki eigennilai sebagai akar. Ini memiliki determinan dan teras dari matriks di antara koefisiennya. Polinomial karakteristik keendomorfan ruang vektor dimensi hingga merupakan polinomial karakteristik dari matriks dari keendomorfan di suatu basis, ini tidak bergantung pada pemilihan basis. Persamaan karakteristik, juga dikenal sebagai persamaan determinan,[1][2][3] adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik graf merupakan polinomial karakteristik dari matriks kedampingan.[4]

Motif[sunting | sunting sumber]

Diberikan sebuah matriks persegi , kita ingin mencari sebuah polinomial yang nolnya adalah eigennilai . Untuk sebuah matriks diagonal , polinomial karakteristik mudah didefinisikan: jika entri-entri diagonal adalah , , , dst. maka polinomial karakteristiknya akan menjadi:

Ini bekerja karena entri-entri diagonalnya juga eigennilai matriks ini.

Untuk sebuah matriks umum , satunya dapat diteruskan sebagai berikut. Sebuah skalar adalah sebuah eigennilai jika dan hanya jika terdapat sebuah vektor taknol ; disebut sebuah eigenvektor, sehingga

atau, dengan setara,

(dimana adalah matriks identitas). Karena harus menjadi taknol, ini berarti bahwa matriks memiliki sebuah kernel taknol. Demikian matriks ini tidak terbalikkan, dan samanya adalah benar untuk determinannya, yang oleh karena itu harus menjadi nol. Demikian eigennilai adalah akar , yang mana sebuah polinomial dalam .

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Kita anggap sebuah matriks dengan ukuran . Polinomial karakterisitik , dilambangkan oleh , merupakan sebuah polinomial didefinisikan oleh[5]

dimana melambangkan matriks identitas dengan ukuran .

Beberapa penulis mendefinisikan polinomial karakteristik menjadi . Polinomial itu membedakan dari satu yang didefinisikan disini oleh sebuah tanda , jadi ini tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti memiliki sebagai akar eigennilai ; namun definisi di atas selalu memberikan sebuah polinomial monik, sedangkan definisi altenatifnya hanya monik ketika adala genap.

Contoh-contoh[sunting | sunting sumber]

Andaikan kita ingin menghitung polinomial karakteristik dari matriks .Kita sekarang menghitung determinan dari

yang mana , polinomial karakteristik .

Contoh lainnya menggunakan fungsi hiperbolik dari sebuah sudut hiperbolik . Untuk matriksnya ambillah

.

Polinomial karakteristiknya adalah

.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Polinomial karakteristik dari sebuah matriks adalah monik (koefisien yang ditujunya adalah 1) dan derajatnya adalah . Fakta yang paling terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebutkan dalam paragraf motif: eigennilai tepatnya akar dari (ini juga berlaku untuk polinomial minimal , tapi derajatnya dapat lebih kecil dari ). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi polinomial dalam entri-entri dari matriks. Khususnya koefisien tetapannya adalah

,

koefisiennya adalah satu, dan koefisien adalah , dimana adalah teras . (Tandanya yang diberikan disini berpadanan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya;[6] untuk definisi alternatif ini akan sebagai gantinya masing-masing menjadi dan .[7])

Untuk sebuah matriks dengan ukuran , polinomial karakterisitiknya demikian diberikan oleh

.

Menggunakan bahasa aljabar luar, salah satunya dapat secara kompak mengekspresikan polinomial karakteristik dari sebuah matriks dengan ukuran sebagai

dimana adalah teras dari kuasa luar dari , yang memiliki dimensi . Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama dari ukuran . Algoritme Faddeev–LeVerrier rekursif menghitung koefisien-koefisien ini lebih efisien.

Ketika karakteristik dari medan dari koefisien adalah 0, setiap seperti teras dapat secara alternatif dihitung sebagia sebuah determinan tunggal, yang dari matriks ,

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa menggantikan oleh dalam polinomial karakteristik (menginterpretasi hasil pangkat sebagai kuasa matriks, dan suku tetapan sebagai dikali matriks identitas) menghasilkan matriks nol. Pembicaraan secara informal, setiap matriks memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri. Pernyataan ini setara untuk mengatakan bahwa polinomial minimal membagi polinomial karakteristik .

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama. Namun sebaliknya tidak benar secara umum: matrks dengan polinomial karakteristik tidak dibutuhkan menjadi serupa.

Matriks dan transposnya memiliki polinomial karakteristik yang sama. serupa dengan sebuah matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor linear atas (kesamaannya benar dengan polinomial minimal sebagai gantinya dari polinomial karakteristik). Dalam kasus ini, serupa dengan sebuah matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari sebuah darab dua matriks[sunting | sunting sumber]

Jika dan adalah dua matriks persegi , maka polinomial karakteristik dan berimpit: ". Ketika adalah taksingular, hasil berikut ini dari fakta bahwa dan adalah serupa:

.

>Untuk kasusnya dimana dan adalah tunggal, satunya dapat ditandai bahwa identitas yang diinginkan adalah sebuah persamaan di antara polinomial dalam dan koefisiennya dari matriks. Dengan demikian, untuk membuktikan persamaan ini, ini cukup untuk membuktikan bahwa ini sah pada sebuah himpunan bagian buka takkosong (untuk topologi biasanya, atau, lebih umumnya, untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisiennya. Karena matriks taksingular membentuk seperti himpunan bagian bukan dari ruang semua matriks, ini membuktikan hasilnya.

Lebih umumnya, jika adalah sebuah matriks ordo dan adalah matriks ordo , maka adalah dan adalah matriks , dan satunya memiliki .

Untuk membuktikan ini, satunya dapat menganggap dengan menukarkan, jika diperlukan, dan . Kemudian, oleh berbatasan dengan di bawahnya oleh baris nolnya, dan di sebelah kanan, oleh, kolom nolnya, salah satunya mendapatkan dua matriks , yaitu dan sehingga dan sama dengan berbatasan dengan baris dan kolom nolnya. Hasil berikut dari kasus matriks persegi, dengan membandingkan polinomial karakteristik dan .

Polinomial karakteristik dari [sunting | sunting sumber]

Jika adalah sebuah eigennilai dari sebuah matriks persegi dengan eigenvektor , maka jelas adalah sebuah eigennilai dari

Perkaliannya dapat ditunjukkan untuk menyetujui sebagai berikut, dan ini merampat untuk suatu polinomial dalam tempat :[8]

Teorema — Misalkan dan misalkan menjadi sebuah polinomial. Jika polinomial karakteristik memiliki sebuah faktorisasi.

maka polinomial karakteristik dari matriks diberikan oleh

Yaitu, perkalian aljabar dalam sama dengan jumlah perkalian aljabar di atas sehingga . Khususnya,

dan

.

Disini sebuah polinomial , contohnya, dievaluasi pada sebuah matriks disederhanakan sebagai .

Teoremanya berlaku dengan matriks dan polinomial atas suatu medan atau gelanggang komutatif.[9] Namun, asumsinya bahwa memiliki sebuah faktorisasi ke dalam faktor linear tidak selalu benar, kecuali matriksnya atas sebuah medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti

Bukti ini hanya berlaku dengan matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau suatu medan tertutup secara aljabar. Dalam kasus ini, polinomial karakteristik suatu matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai

dimana adalah eigennilai dari , kemungkinan berulang. Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa suatu matriks persegi dapat diuraikan sebagai , dimana adalah sebuah matriks terbalik dan adalah matriks segitiga atas dengan pada diagonal (dengan setiap eigennili berulang menurut perkalian aljabarnya). (Bentuk normal Jordan memiliki sifat-sifat yang kuat, tetapi ini sudah cukup; secara alternatif penguraian Schur dapat digunakan, yang kurang populer tetapi agak lebih mudah untuk membuktikan).

Misalkan . Maka

.

Ini mudah diperiksa untuk sebuah matriks segitiga atas dengan diagonal , matriks adalah segitiga atas dengan diagonal dalam , dan karena itu merupakan matriks segitiga atas dengan diagonal . Oleh karena itu, eigennilai dari adalah . Karena serupa dengan , ini memiliki eigennilai yang sama, dengan perkalian aljabar yang sama.

Fungsi sekuler dan persamaan sekuler[sunting | sunting sumber]

Fungsi sekuler[sunting | sunting sumber]

Istilah fungsi sekuler telah digunakan untuk apa yang sekarang disebut polinomial karakteristik (dalam beberapa sastra istilah fungsi sekuler masih digunakan). Istilahnya datang dari polinomial karakteristik digunakan untuk menghitung usikan sekuler (pada sebuah skala waktu mengenai sebuah abad, yaitu, dibandingkan dengan perlahan untuk gerakan tahunan) mengenai orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

Persamaan sekuler[sunting | sunting sumber]

Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

  • Dalam aljabar linear, ini terkadang digunakan dalam tempat persamaan karakteristik.
  • Dalam astronomi, ini adalah ekspresi aljabar atau numerik dari besaran mengenai pertidaksamaan dalam sebuah gerakan planet yang tetap setelah pertidaksamaan mengenai sebuah kala pendek telah dimungkinkan untuk.[10]
  • Dalam perhitungan orbital molekul mengaitkan dengan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya juga digunakan sebagai gantinya dari persamaan karakteristik.

Untuk aljabar asosiatif umum[sunting | sunting sumber]

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik mengenai sebuah matriks dengan entri-entri dalam sebuah medan merampat tanpa suatu perubahan dengan kasus ketika hanyalah sebuah gelanggang komutatif. (Garibaldi 2004) mendefinisikan polinomial karakteristik untuk aljabar berdimensi hingga sembarang (asosiatif, tetapi tidak perlu komutatif) atas sebuah medan dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Guillemin, Ernst (1953). Introductory Circuit Theory. Wiley. hlm. 366, 541. ISBN 0471330663. Ringkasan. 
  2. ^ Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952). "An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations" (PDF). American Mathematical Society – Mathematics of Computation. 6 (37): 18–34. doi:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0. Diakses tanggal 3 October 2020. 
  3. ^ Frank, Evelyn (1946). "On the zeros of polynomials with complex coefficients". Bulletin of the American Mathematical Society. 52 (2): 144–157. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2alt=Dapat diakses gratis. Diakses tanggal 3 October 2020. Ringkasan. 
  4. ^ "Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld". Diakses tanggal August 26, 2011. 
  5. ^ Steven Roman (1992). Advanced linear algebra (edisi ke-2). Springer. hlm. 137. ISBN 3540978372. 
  6. ^ Dalil 28 dalam catatan kuliah ini.[pranala nonaktif permanen]
  7. ^ Teorema 4 dalam catatan kuliah ini.
  8. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. pp. 108–109, Section 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6. 
  9. ^ Lang, Serge (1993). Algebra. New York: Springer. p.567, Theorem 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC 852792828. 
  10. ^ "secular equation". Diakses tanggal January 21, 2010.