Rentang linear

Bidang yang direntang oleh vektor u dan v di R³.

Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan $S$ berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di $S.$ Rentang linear dari $S$ umum disimbolkan dengan ${\text{span}}(S).$ Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung $S,$ maupun sebagai subruang yang mengandung $S.$ Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor $V$ adalah rentang linear dari subset $S,$ beberapa pernyataan berikut umum digunakan: $S$ merentang $V,$ $S$ adalah himpunan merentang dari $V,$ $V$ direntang/dibangkitkan oleh $S,$ atau $S$ adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari $V.$

Definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ rentang dari suatu himpunan $S$ yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan $W$ dari semua subruang dari $V$ yang mengandung $S.$ Irisan $W$ disebut sebagai subruang yang direntang oleh $S,$ atau oleh vektor-vektor di $S.$ Kebalikannya, $S$ disebut himpunan merentang dari $W$, dan kita katakan $S$ merentang $W.$

Rentang dari $S$ juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di $S.$ Secara matematis, ini dituliskan sebagai

$$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$$

Pada kasus $S$ berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh

Ruang vektor riil $\mathbb {R} ^{3}$ dapat direntang oleh himpunan $\{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}$. Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari $\mathbb {R} ^{3}$. Jika $(-1,0,0)$ digantikan dengan $(1,0,0)$, himpunan tersebut merupakan basis standar dari $\mathbb {R} ^{3}$. Contoh himpunan pembangkit lain dari $\mathbb {R} ^{3}$ adalah $\{(1,2,3),\,(0,1,2),\,(-1,{\tfrac {1}{2}},3),\,(1,1,1)\}$, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan $\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(1,1,0)\}$ bukan himpunan merentang dari $\mathbb {R} ^{3}$, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di $\mathbb {R} ^{3}$ yang komponen terakhirnya bernilai $0.$ Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan $\{(1,0,0),\,(0,1,0)\},$ karena $(1,1,0)$ adalah kombinasi linear dari $(1,0,0)$ dan $(0,1,0).$

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari $\{(0,0,0)\},$ karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di $\mathbb {R} ^{3},$ dan $\{(0,0,0)\}$ adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial $x^{n},$ dengan $n$ adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema

Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ himpunan semua kombinasi linear dari subset $S$ dari $V,$ adalah subruang terkecil dari $V$ yang mengandung $S.$

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa ${\text{span}}(S)$ adalah subruang dari $V.$ Karena $S$ adalah subset dari $V,$ kita cukup membuktikan bahwa vektor $\mathbf {0}$ anggota dari ${\text{span}}(S),$ bahwa ${\text{span}}(S)$ dibawah penjumlahan, dan bahwa ${\text{span}}(S)$ tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan $S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di $V$ ada di ${\text{span}}(S),$ karena $\mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}.$ Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari $S$ akan menghasilkan kombinasi linear dari $S:$

$$(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},$$

dengan semua $\lambda _{i},\mu _{i}\in K$, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari $S$ dengan sebarang skalar $c\in K$ akan menghasilkan kombinasi linear dari $S:$

$$c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.$$

Alhasil, ${\text{span}}(S)$ adalah subruang dari $V.$

Misalkan $W$ adalah subruang $V$ yang mengandung $S.$ Perhatikan bahwa $S\subseteq \operatorname {span} S,$ karena semua $\mathbf {v} _{i}$ merupakan kombinasi linear dari $S$ (secara langsung). Karena $W$ tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ harus berada di $W.$ Akibatnya, ${\text{span}}(S)$ terkandung di semua subruang dari $V$ yang mengandung $S.$ Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari $S.$

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan $S$ yang merentang ruang vektor $V$ harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari $V.$

Bukti. Misalkan $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ adalah suatu himpunan merentang dan $W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}$ adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di $V.$ Kita akan menunjukkan bahwa $m\geq n.$

Karena $S$ merentang $V,$ maka $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ juga harus merentang $V,$ dan $\mathbf {w} _{1}$ harus merupakan hasil kombinasi linear dari $S.$ Akibatnya $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari $S$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota $S$ lainnya. Vektor ini tidak mungkin $\mathbf {w} _{i}$ karena $W$ bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah $\{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\},$ yang merupakan himpunan merentang bagi $V.$ Kita ulangi proses ini sebanyak $n$ kali, yang tahap ke-$p$-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}$ dan $m-p$ vektor dari $S.$

Dapat dipastikan sampai tahap ke-$n$ akan selalu ada suatu $\mathbf {v} _{i}$ untuk dibuang dari $S$, akibatnya $\mathbf {v} _{i}$ setidaknya sama banyaknya dengan $\mathbf {w} _{i}$; dengan kata lain, $m\geq n.$ Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap $m<n.$ Saat tahap ke-$m$, kita memiliki himpunan $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ dan kita dapat menambahkan vektor baru $\mathbf {w} _{m+1}.$ Tapi karena $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ adalah himpunan merentang dari $V,$ vektor $\mathbf {w} _{m+1}$ adalah kombinasi linear dari $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$. Ini adalah kontradiksi, karena $W$ bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang $V$ dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi $V,$ dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus $V$ berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika $V$ berdimensi hingga.

Daftar pustaka

Buku

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (edisi ke-4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. 
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462. 
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1. 
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049. 
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

Situs web

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Diakses tanggal 16 Feb 2021. 
• "Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021. 

Pranala luar

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11 – via YouTube.