Irisan (teori himpunan)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Irisan dari dua himpunan dan , diwakili oleh lingkaran-lingkaran. ada di dalam warna merah.

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan oleh ,[1][2] adalah himpunan yang berisi semua anggota dari yang juga milik (atau, semua anggota dari yang juga milik ).[3]

Notasi dan istilah[sunting | sunting sumber]

Irisan, dalam notasi infiks, ditulis menggunakan simbol "∩" antara suku-sukunya. Sebagai contoh,

Irisan dari lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum) dapat ditulis sebagai

yang mirip dengan notasi kapital-Sigma

Untuk penjelasan dari simbol-simbol yang digunakan dalam artikel ini, rujuk daftar simbol matematika.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Irisan dari tiga himpunanː
Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya mengingat bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.
Contoh dari sebuah irisan dengan himpunan-himpunan.

Irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan dengan ,[1][4] adalah himpunan dari semua objek yang anggota dari kedua himpunan dan . Dalam simbol,

Yaitu, adalah sebuah anggota dari irisan , jika dan hanya jika adalah kedua elemen dari dan anggota dari .[4]

Sebagai contohː

  • Irisan dari himpunan dan adalah .
  • Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan ganjil , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepas[sunting | sunting sumber]

Himpunan dikatakan beririsan dengan himpunan apabila ada beberapa yang merupakan anggota dari kedua himpunan dan .

Himpunan dan dikatakan saling lepas jika tidak beririsan dengan . Dalam bahasa yang sederhana, mereka tidak memiliki anggota persekutuan. Himpunan dan saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan .

Sebagai contoh, himpunan dan saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat Aljabar[sunting | sunting sumber]

  • Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan dan , berlaku:
    .
  • Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan , , dan , berlaku:
    .
    Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai .
  • Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan berlaku

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

  • Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan dan , berlaku:
    .
    .
  • Dalam semesta , komplemen dari himpunan dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari yang tidak termuat dalam . Selanjutnya, irisan dari dan dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum De Morganː

Irisan sembarang[sunting | sunting sumber]

Gagasan yang paling umum adalah irisan dari sebuah kumpulan bukan kosong sembarang dari himpunan. Jika adalah himpunan bukan kosong yang anggota-anggotanya adalah himpunan-himpunan mereka sendiri, maka adalah sebuah anggota dari irisan dari jika dan hanya jika untuk setiap anggota dari , adalah sebuah anggota dari . Dalam simbolː

.

Notasi untuk konsep terakhir ini bisa sangat bervariasi. Teori-teori himpunan akan terkadang menulis , sementara yang lainnya menulis . Notasi terakhir bisa digeneralisasikan ke , yang mengacu pada irisan dari kumpulan . Disini adalah himpunan bukan kosong, dan adalah sebuah himpunan dari setiap dalam .

Dalam kasus ini bahwa himpunan indeks adalah himpunan bilangan asli, notasi analog dengan produk tidak terbatas dapat dilihat

.

Ketika pemformatannya sulit, ini bisa juga ditulis . Ini adalah contoh yang terakhir, sebuah irisan dari banyaknya himpunan yang terhitung, ini sangat umum; sebagai contoh, lihat di artikel pada aljabar-σ.

Irisan nullary[sunting | sunting sumber]

Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung. Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (membandingkanːdarab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Catatan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus dimana adalah himpunan kosong (). Alasannya sebagai berikutː Irisan dari kumpulan didefinisikan sebagai himpunan (lihat atan notasi ungkapan himpunan)

Jika kosong, maka tidak ada himpunan dalam , jadi pertanyaannya menjadi " mana yang memenuhi kondisi yang disebutkan?". Jawabannya tampaknya menjadi setiap kemungkinan . Ketika kosong, kondisi diberikan di atas adalah sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong seharusnya himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5]

Sayangnya, menurut teori himpunan (Teori himpunan Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada. Sebuah perbaikan untuk masalah ini bisa ditemukan jika kita memperhatikan bahwa irisan di sebuah himpunan dari himpunan-himpunan selalu sebuah subhimpunan dari gabungan di himpunan dari himpunan-himpunan. Ini bisa secara simbolis ditulis sebagai

Demikian, kita bisa memodifikasikan definisi sedikit menjadi

Secara umum, tidak ada masalah yang muncul jika kosong. Irisannya adalah himpunan kosong, karena gabungan di himpunan kosong adalah himpunan kosong. Faktanya, ini adalah operasi yang kita akan mendefinisikan dalam tempat pertama jika kita mendefinisikan himpunan dalam Teori himpunan Zermelo-Fraenkel sebagai pengecualian untuk operasi-operasi didefinisikan ikeh aksioma (himpunan pangkat dari sebuah himpunan, misalnya), setiap himpunan harus didefinisikan sebagai subhimpunan dari beberapa himpunann lainnya oleh dengan penggantian.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  2. ^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08. 
  4. ^ a b "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  5. ^ Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 

Bacaan lanjutan[sunting | sunting sumber]

  • Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
  • Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.