Irisan (teori himpunan)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Irisan dari dua himpunan dan , dinyatakan melalui lingkaran. Warna merah menyatakan anggota dari .

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang memuat semua anggota dari juga milik (atau, semua anggota dari yang juga milik ).[1] Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:[2][3]

,

Notasi dan istilah[sunting | sunting sumber]

Irisan, dalam notasi infiks, ditulis menggunakan simbol "∩" antara suku-sukunya. Sebagai contoh,

Namun, notasi untuk irisan dari lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum) mirip dengan notasi Sigma, yang ditulis sebagai

.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Irisan dari tiga himpunanː
Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya dipandang sebagai bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.
Contoh irisan dari himpunan.

Irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan dengan ,[2][4] merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan dan . Secara matematis ditulis,

Hal ini mengartikan bahwa adalah anggota dari irisan , jika dan hanya jika adalah anggota dari dan anggota dari .[4]

Sebagai contohː

  • Irisan dari himpunan dan adalah .
  • Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan ganjil , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepas[sunting | sunting sumber]

Himpunan dikatakan beririsan dengan himpunan jika terdapat yang merupakan anggota dari himpunan dan .

Himpunan dan dikatakan saling lepas jika tidak beririsan dengan . Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan dan saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan .

Sebagai contoh, himpunan dan saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat aljabar[sunting | sunting sumber]

  • Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan dan , berlaku:
    .
  • Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan , , dan , berlaku:
    .
    Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai .
  • Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan berlaku

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

  • Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan dan , berlaku:
    .
    .
  • Dalam semesta , komplemen dari himpunan dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari yang tidak termuat dalam . Selanjutnya, irisan dari dan dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum De Morganː

Irisan sebarang[sunting | sunting sumber]

Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang kumpulan takkosong himpunan-himpunan. Jika adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka adalah anggota dari irisan dari jika dan hanya jika untuk setiap anggota dari , adalah sebuah anggota dari . Secara matematis ditulisː

.

Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis , sementara yang lainnya menulis . Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi , yang mengacu pada irisan kumpulan . Dalam notasi terakhir itu, adalah himpunan takkosong, dan adalah sebuah himpunan dari setiap dalam .

Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.

.

Notasi tersebut juga dapat ditulis .

Irisan kosong[sunting | sunting sumber]

Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung.

Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (bandingkan darab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk adalah himpunan kosong (). Alasannya adalah bahwa Irisan dari kumpulan didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)

Jika kosong, maka tidak ada himpunan dalam . Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: " manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan . Ketika kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5], namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08. 
  2. ^ a b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-04. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  4. ^ a b "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  5. ^ Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 

Bacaan lanjutan[sunting | sunting sumber]

  • Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
  • Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.