Irisan (teori himpunan)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Irisan dari dua himpunan dan , diwakili oleh lingkaran-lingkaran. ada di dalam warna merah.

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan oleh ,[1][2] adalah himpunan mengandung semua anggota dari yang juga milik (atau dengan jelas, semua anggota dari yang juga milik ).[3]

Notasi dan istilah[sunting | sunting sumber]

Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" antara istilah; yaitu, notasi infiks. Sebagai contoh,

Irisan dari lebih dari dua himpunan (irisan yang digeneralisasikan) bisa ditulis sebagai

yang mirip dengan notasi kapital-Sigma

Untuk sebuah penjelasan dari simbol-simbol digunakan di artikel ini, lihat di tabel dari simbol matematika.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Irisan dari tiga himpunanː
Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya mengingat bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.
Contoh dari sebuah irisan dengan himpunan-himpunan.

Irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan dengan ,[1][4] adalah himpunan dari semua objek yang anggota dari kedua himpunan dan . Dalam simbol,

Yaitu, adalah sebuah anggota dari irisan , jika dan hanya jika adalah kedua elemen dari dan anggota dari .[4]

Sebagai contohː

  • Irisan dari himpunan dan adalah .
  • Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan ganjil , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Irisan merupakan sebuah operasi asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan , , dan , salah satunya mempunyai . Irisan juga merupakan komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan dan , salah satunya mempunyai . Jadi masuk akal untuk mengatakan tentang irisan dari himpunan-himpunan yang banyak. Irisan dari , , dan , sebagai contoh, jelas ditulis .

Di dalam sebuah semesta , salah satunya dapat didefinisikan komplemen dari menjadi himpunan dari semua anggota dari bukan dalam . Selanjutnya, irisan dari dan dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum De Morganː

Mengiris dan himpunan saling lepas[sunting | sunting sumber]

Kita katakan bahwa mengiris (bertemu) di sebuah anggota jika milik dan . Kita katakan bahwa mengiris (bertemu) jika mengiris di beberapa anggota. mengiris jika irisan mereka berpenghuni.

Kita katakan bahwa dan saling lepas jika tidak mengiris . Dalam bahasa yang sederhana, mereka tidak memiliki anggota bersama. dan saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan .

Sebagai contoh, himpunan dari dan saling lepas, meskipun himpunan bilangan genap mengiris himpunan kelipatan dari 3 di perkalian dari 6.

Irisan sembarang[sunting | sunting sumber]

Gagasan yang paling umum adalah irisan dari sebuah kumpulan bukan kosong sembarang dari himpunan. Jika adalah himpunan bukan kosong yang anggota-anggotanya adalah himpunan-himpunan mereka sendiri, maka adalah sebuah anggota dari irisan dari jika dan hanya jika untuk setiap anggota dari , adalah sebuah anggota dari . Dalam simbolː

Notasi untuk konsep terakhir ini bisa sangat bervariasi. Teori-teori himpunan akan terkadang menulis , sementara yang lainnya menulis . Notasi terakhir bisa digeneralisasikan ke , yang mengacu pada irisan dari kumpulan . Disini adalah himpunan bukan kosong, dan adalah sebuah himpunan dari setiap dalam .

Dalam kasus ini bahwa himpunan indeks adalah himpunan bilangan asli, notasi analog dengan produk tidak terbatas dapat dilihat

.

Ketika pemformatan sulit, ini bisa juga ditulis . Ini adalah contoh yang terakhir, sebuah irisan dari banyaknya himpunan yang terhitung, ini sangat umum; sebagai contoh, lihat di artikel pada aljabar-σ.

Irisan nullary[sunting | sunting sumber]

Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (membandingkanː produk kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Catatan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus dimana adalah himpunan kosong (). Alasannya sebagai berikutː Irisan dari kumpulan didefinisikan sebagai himpunan (lihat atan notasi pembuatan himpunan)

Jika kosong, maka tidak ada himpunan dalam , jadi pertanyaannya menjadi " mana yang memenuhi kondisi yang disebutkan?". Jawabannya tampaknya menjadi setiap kemungkinan . Ketika kosong, kondisi diberikan di atas adalah sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong seharusnya himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5]

Sayangnya, menurut teori himpunan (Teori himpunan Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada. Sebuah perbaikan untuk masalah ini bisa ditemukan jika kita memperhatikan bahwa irisan di sebuah himpunan dari himpunan-himpunan selalu sebuah subhimpunan dari gabungan di himpunan dari himpunan-himpunan. Ini bisa secara simbolis ditulis sebagai

Demikian, kita bisa memodifikasikan definisi sedikit menjadi

Secara umum, tidak ada masalah yang muncul jika kosong. Irisannya adalah himpunan kosong, karena gabungan di himpunan kosong adalah himpunan kosong. Faktanya, ini adalah operasi yang kita akan mendefinisikan dalam tempat pertama jika kita mendefinisikan himpunan dalam Teori himpunan Zermelo-Fraenkel sebagai pengecualian untuk operasi-operasi didefinisikan ikeh aksioma (himpunan pangkat dari sebuah himpunan, misalnya), setiap himpunan harus didefinisikan sebagai subhimpunan dari beberapa himpunann lainnya oleh dengan penggantian.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  2. ^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08. 
  4. ^ a b "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  5. ^ Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

  • Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
  • Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Tautan eksternal[sunting | sunting sumber]

  • Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.