Induksi matematika

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari
Sebuah deskripsi tidak formal dari induksi matematika dapat diilustrasikan dengan mengacu kepada efek sekuensial dari jatuhnya domino.

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat.

Matematika umum[sunting | sunting sumber]

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
  • Buktikan bahwa untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa
(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

B. Pertidaksamaan
  • Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

(karena 4 < 4k)

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa
(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

C. Faktor (termasuk kali atau bagi)
  • Buktikan bahwa salah satu faktor dari adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor , maka 3 adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa habis dibagi 4

karena dan habis dibagi 4, maka habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

D. Faktorisasi
  • Buktikan bahwa x - y adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang tunjukkan bahwa x - y adalah faktor dari

karena x - y adalah faktor dari dan x - y juga merupakan faktor , maka x - y adalah faktor dari . Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk x - y adalah faktor untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

E. Barisan

Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!


Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk beberapa penjumlahan dari pertama, benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk , yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Matematika kuat[sunting | sunting sumber]

Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

S(a), S(a + 1), ..., dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), ..., S(k) semuanya bernilai benar.)

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
B. Barisan
C. Teori

Referensi[sunting | sunting sumber]

  • Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.  (Section 1.2.1: Mathematical Induction, pp. 11-21.)
  • Kolmogorov, Andrey N. (1975). Introductory Real Analysis. Silverman, R. A. (trans., ed.). New York: Dover. ISBN 0-486-61226-0.  (Section 1.3.8: Transfinite induction, pp. 28-29.)
  • Franklin, J. (1996). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Quakers Hill Press. ISBN 1-876192-00-3.  (Ch. 8.)
History
  • Acerbi, F. (2000). "Plato: Parmenides 149a7-c3. A Proof by Complete Induction?". Archive for History of Exact Sciences 55: 57–76. doi:10.1007/s004070000020. 
  • Bussey, W. H. (1917). "The Origin of Mathematical Induction". The American Mathematical Monthly 24 (5): 199–207. 
  • Cajori, Florian (1918). "Origin of the Name "Mathematical Induction"" 25 (5). pp. 197–201. 
  • "Could the Greeks Have Used Mathematical Induction? Did They Use It?". Physis XXXI: 253–265. 1994. 
  • Freudenthal, Hans (1953). "Zur Geschichte der vollständigen Induction". Archives Internationales d'Histiore des Sciences 6: 17–37. 
  • Rabinovitch, Nachum L. (1970). "Rabi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction". Archive for the History of Exact Science 6: 237–248. doi:10.1007/BF00327237. 
  • Rashed, Roshdi (1972). "L'induction mathématique: al-Karajī, as-Samaw'al". Archive for History of Exact Sciences 9: 1–12. doi:10.1007/BF00348537. 
  • Ungure, S. (1991). "Greek Mathematics and Mathematical Induction". Physis. XXVIII: 273–289. 
  • Ungure, S. (1994). "Fowling after Induction". Physis XXXI: 267–272. 
  • Vacca, G. (1909). "Maurolycus, the First Discoverer of the Principle of Mathematical Induction". Bulletin of the American Mathematical Society 16: 70–73. 
  • Yadegari, Mohammad (1978). "The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā' Ibn Aslam (850-930)". Isis 69 (2): 259–262. 
  • Kuntarti, Sri Kurnianingsih (2007). Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA. Sulistiyono. Jakarta: Esis. ISBN 978-979-015-297-7.