Persamaan integral

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, Persamaan integral adalah persamaan di mana fungsi yang tidak diketahui muncul di bawah tanda integral.

Ada hubungan erat antara diferensial dan persamaan integral, dan beberapa masalah dapat dirumuskan dengan cara apa pun. Lihat, misalnya, Fungsi Green, teori Fredholm, dan Persamaan Maxwell.

Ikhtisar[sunting | sunting sumber]

Jenis paling dasar dari persamaan integral disebut persamaan Fredholm dari jenis pertama ,

Notasinya mengikuti Arfken. Di sini φ adalah fungsi yang tidak diketahui, f adalah fungsi yang diketahui, dan K adalah fungsi lain yang diketahui dari dua variabel, sering disebut fungsi kernel. Perhatikan bahwa batas integrasi tidak berubah: inilah yang menjadi ciri persamaan Fredholm.

Jika fungsi yang tidak diketahui terjadi baik di dalam maupun di luar integral, persamaan tersebut dikenal sebagai persamaan Fredholm jenis kedua ,

Parameter λ adalah faktor yang tidak diketahui, yang memainkan peran yang sama dengan nilai eigen di aljabar linear.

Jika salah satu batas integrasi adalah sebuah variabel, persamaan tersebut disebut Persamaan Volterra. Berikut ini disebut Persamaan Volterra jenis pertama dan kedua ,

Dalam semua hal di atas, jika diketahui fungsinya f identik dengan nol, persamaan tersebut disebut persamaan integral homogen . Jika f bukan nol, ini disebut persamaan integral tak homogen .

Solusi numerik[sunting | sunting sumber]

Perlu dicatat bahwa persamaan integral seringkali tidak memiliki solusi analitik, dan harus diselesaikan secara numerik. Contohnya adalah mengevaluasi Persamaan Integral Medan Listrik (EFIE) atau Persamaan Integral Medan-Magnet (MFIE) pada objek berbentuk arbitrer dalam hamburan elektromagnetik

Salah satu metode untuk menyelesaikan secara numerik membutuhkan variabel diskritisasi dan mengganti integral dengan aturan kuadrat

Kemudian kita memiliki sistem dengan persamaan n dan variabel n. Dengan menyelesaikannya kita mendapatkan nilai variabel n

Klasifikasi[sunting | sunting sumber]

Persamaan integral diklasifikasikan menurut tiga dikotomi berbeda, menghasilkan delapan jenis berbeda:

Batasan integrasi
Penempatan fungsi yang tidak diketahui
  • hanya di dalam integral: jenis pertama
  • baik di dalam maupun di luar integral: jenis kedua
Sifat fungsi yang diketahui f
  • identik dengan nol: homogen
  • tidak identik nol: tidak homogen

Persamaan integral penting dalam banyak aplikasi. Masalah di mana persamaan integral ditemui termasuk transfer radiasi, dan osilasi dari string, membran, atau poros. Masalah osilasi juga dapat diselesaikan sebagai persamaan diferensial.

Baik persamaan Fredholm dan Volterra adalah persamaan integral linier, karena perilaku linier φ ( x ) di bawah integral. Persamaan integral Volterra nonlinier memiliki bentuk umum:

di mana F adalah fungsi yang diketahui.

Persamaan integral Wiener – Hopf[sunting | sunting sumber]

Awalnya, persamaan tersebut dipelajari sehubungan dengan masalah dalam transfer radiasi, dan baru-baru ini, mereka telah dikaitkan dengan penyelesaian persamaan integral batas untuk masalah planar di mana batas tersebut hanya mulus sebagian.

Solusi deret pangkat untuk persamaan integral[sunting | sunting sumber]

Dalam banyak kasus, jika Kernel dari persamaan integral berbentuk K(xt) dan transformasi Mellin dari K(t), kita dapat menemukan solusi dari persamaan integral

dalam bentuk deret pangkat

where

adalah Z - transformasi fungsinya g(s), dan M(n + 1) adalah transformasi Mellin dari Kernel.

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "Lecture Notes on Risk Theory" (PDF). 2010. 
  2. ^ Sachs, E. W.; Strauss, A. K. (2008-11-01). "Efficient solution of a partial integro-differential equation in finance". Applied Numerical Mathematics. 58 (11): 1687–1703. doi:10.1016/j.apnum.2007.11.002. ISSN 0168-9274. 

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]