Fungsi Green

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, Fungsi Green adalah respons impuls dari tidak homogen linier operator diferensial yang ditentukan pada domain.

Artinya jika L adalah operator diferensial linier, maka

  • fungsi Green G adalah solusi dari persamaan LG = δ , di mana δ adalah Fungsi delta Dirac;
  • solusi dari masalah nilai awal Ly = f adalah konvolusi ( G * f ), di mana G adalah fungsi Green .

Melalui prinsip superposisi, diberi persamaan diferensial linear (ODE), L (solusi) = sumber, yang pertama bisa diselesaikan L(green) = δs, untuk setiap s, dan menyadari bahwa, karena sumber adalah jumlah dari fungsi delta, solusinya adalah penjumlahan fungsi Green juga, dengan linearitas L .

Fungsi Green dinamai menurut ahli matematika Inggris George Green, yang pertama kali mengembangkan konsep ini pada tahun 1830-an. Dalam studi modern tentang persamaan diferensial parsial linier, fungsi Green dipelajari sebagian besar dari sudut pandang solusi fundamental.

Di bawah teori benda banyak, istilah ini juga digunakan dalam fisika, khususnya dalam teori medan kuantum, aerodinamika, aeroakustik, elektrodinamika, seismologi dan teori medan statistik, untuk merujuk pada berbagai jenis fungsi korelasi, bahkan yang tidak sesuai. Dalam teori medan kuantum, fungsi Green berperan sebagai propagator.

Definisi dan kegunaan[sunting | sunting sumber]

Fungsi A Green, G(x,s), dari operator diferensial linear bertindak pada distribusi selama himpunan bagian dari ruang Euklides , pada satu titik s , adalah solusi dari

 

 

 

 

(1)

dengan δ adalah Fungsi delta Dirac. Properti dari fungsi Green ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk tersebut

 

 

 

 

(2)

Jika kernel dari L adalah non-trivial, maka fungsi Green tidak unik. Namun, dalam praktiknya, beberapa kombinasi simetri, kondisi batas dan / atau kriteria yang ditentukan secara eksternal akan memberikan fungsi Green yang unik. Fungsi Green dapat dikategorikan, menurut jenis kondisi batas yang dipenuhi, dengan bilangan fungsi Green. Selain itu, fungsi Green secara umum adalah distribusi, tidak harus fungsi dari variabel nyata.

Fungsi Green juga merupakan alat yang berguna dalam menyelesaikan persamaan gelombang s dan persamaan difusi. Dalam mekanika kuantum, fungsi Green dari Hamiltonian adalah konsep kunci dengan kaitan penting dengan konsep kepadatan keadaan.

Fungsi Green seperti yang digunakan dalam fisika biasanya didefinisikan dengan tanda yang berlawanan. Itu adalah,

Definisi ini tidak secara signifikan mengubah salah satu properti fungsi Green karena kemerataan fungsi delta Dirac.

Jika operatornya invariansi terjemahan, yaitu kapan memiliki koefisien konstan sehubungan dengan x , maka fungsi Green dapat dianggap sebagai kernel konvolusi, yaitu,

Dalam hal ini, fungsi Green sama dengan respons impuls teori sistem invarian waktu linear.

Motivasi[sunting | sunting sumber]

Singkatnya, jika fungsi seperti itu G dapat ditemukan untuk operator , kemudian, jika kita mengalikan persamaan (1) untuk fungsi Green dengan f ( s ), dan kemudian mengintegrasikannya dengan s, kita mendapatkan ,

Karena operator linear dan hanya bekerja pada variabel x (dan tidak pada variabel integrasi s), seseorang dapat mengambil operator di luar integrasi, menghasilkan

Artinya

 

 

 

 

(3)

is a solution to the equation

Dengan demikian, seseorang dapat memperoleh fungsi u(x) melalui pengetahuan tentang fungsi Green dalam persamaan (1) dan suku sumber di sisi kanan dalam persamaan (2). Proses ini bergantung pada linieritas operator .

Dengan kata lain, solusi persamaan (2), u(x), dapat ditentukan dengan integrasi yang diberikan dalam persamaan (3). Meskipun f (x) diketahui, integrasi ini tidak dapat dilakukan kecuali G juga dikenal. Masalahnya sekarang terletak pada mencari fungsi Green G yang memenuhi persamaan (1). Untuk alasan ini, fungsi Green terkadang juga disebut solusi fundamental yang terkait dengan operator .

Tidak semua operator mengakui fungsi Green. Fungsi Green juga dapat dianggap sebagai invers kanan dari . Selain kesulitan menemukan fungsi Green untuk operator tertentu, integral dalam persamaan (3) mungkin cukup sulit untuk dievaluasi. Namun metode memberikan exac secara teoritis.

Ini dapat dianggap sebagai perluasan dari f menurut basis Fungsi delta Dirac (memproyeksikan f ke atas ; dan superposisi solusi pada setiap proyeksi. Persamaan integral semacam itu dikenal sebagai persamaan integral Fredholm, yang studinya merupakan teori Fredholhm

Fungsi Green untuk menyelesaikan masalah nilai batas yang tidak homogen[sunting | sunting sumber]

Penggunaan utama fungsi Green dalam matematika adalah untuk menyelesaikan masalah nilai batas non-homogen. Dalam fisika teoretis modern, fungsi Green juga biasanya digunakan sebagai propagator dalam diagram Feynman; istilah Fungsi Hijau sering digunakan lebih lanjut untuk fungsi korelasi.

Kerangka[sunting | sunting sumber]

Maka menjadi operator Sturm–Liouville, operator diferensial linear dari bentuk

dan maka menjadi operator kondisi batas nilai vektor

Maka menjadi fungsi berlanjut pada Selanjutnya anggaplah masalahnya

adalah "biasa", yaitu satu-satunya solusi untuk untuk semua x .[a]

Teorema[sunting | sunting sumber]

Hanya ada satu solusi maka

and it is given by

dimana adalah fungsi Green yang memenuhi kondisi berikut:

  1. kontinu dalam dan .
  2. Untuk , .
  3. Untuk , .
  4. Turunan "lompat": .
  5. Simetri: .

Fungsi Green yang maju dan terbelakang[sunting | sunting sumber]

Terkadang fungsi Green dapat dibagi menjadi dua fungsi. Satu dengan variabel positif (+) dan yang lainnya dengan variabel negatif (-). Ini adalah fungsi Green lanjutan dan terbelakang, dan ketika persamaan yang diteliti bergantung pada waktu, salah satu bagiannya adalah kausal dan yang lainnya anti-kausal. Dalam masalah ini biasanya bagian penyebab adalah yang terpenting. Ini seringkali merupakan solusi dari persamaan gelombang elektromagnetik tidak homogen.

Menemukan fungsi Green[sunting | sunting sumber]

Satuan[sunting | sunting sumber]

Meskipun tidak secara unik memperbaiki bentuk fungsi Green, melakukan analisis dimensi untuk menemukan satuan yang harus dimiliki fungsi Green adalah pemeriksaan kewarasan yang penting pada fungsi Green yang ditemukan melalui cara lain. Pemeriksaan cepat dari persamaan yang menentukan,

menunjukkan bahwa satuan tidak hanya bergantung pada satuan tetapi juga pada bilangan dan satuan ruang di mana vektor posisi dan adalah elemen. Ini mengarah pada hubungan:

dimana didefinisikan sebagai, "satuan fisik ", dan adalah elemen volume dari ruang (atau ruangwaktu).

Misalnya, jika dan waktu adalah satu-satunya variabel maka:

Jika , Operator d'Alembert, dan ruang memiliki 3 dimensi maka:

Ekspansi Eigenvalue[sunting | sunting sumber]

Jika operator diferensial L menerima satu set vektor eigen Ψn(x) (yaitu, satu set fungsi Ψn dan skalar λn such that LΨn = λn Ψn ) selesai, maka dimungkinkan untuk membangun fungsi Green dari vektor eigen dan nilai eigen ini.

"Lengkap "artinya kumpulan fungsi { Ψn } memenuhi hubungan kelengkapan berikut,

Kemudian yang berikut berlaku,

dimana mewakili konjugasi kompleks.

Menerapkan operator L ke setiap sisi persamaan ini menghasilkan relasi kelengkapan, yang telah diasumsikan.

Studi umum tentang fungsi Green yang ditulis dalam bentuk di atas, dan hubungannya dengan ruang fungsi yang dibentuk oleh vektor eigen, dikenal sebagai teori Fredholm.

Ada beberapa metode lain untuk menemukan fungsi Green, termasuk metode gambar, pemisahan variabel, dan Transformasi Laplace (Cole 2011).

Menggabungkan fungsi Green[sunting | sunting sumber]

Dari operator diferensial dapat difaktorkan sebagai maka fungsi Green dari bisa dibangun dari fungsi Green untuk dan :

Identitas di atas segera mengikuti dari pengambilan menjadi representasi dari operator kanan invers dari , analog dengan cara operator linear invers , didefinisikan oleh , diwakili oleh elemen matriksnya .

Identitas selanjutnya untuk operator diferensial yang merupakan polinomial skalar dari turunannya, . Teorema fundamental aljabar, dikombinasikan dengan fakta bahwa bepergian dengan sendirinya, menjamin bahwa polinomial dapat difaktorkan, dengan menempatkan dalam bentuk:

dengan adalah angka nol dari . Mengambil Transformasi Fourier dari sehubungan dengan dan gives:

Pecahan kemudian dapat dibagi menjadi jumlah menggunakan Dekomposisi pecahan sebagian sebelum Fourier mengubah kembali ke spasi dan . Proses ini menghasilkan identitas yang menghubungkan integral fungsi Green dan jumlah yang sama. Misalnya, jika maka salah satu bentuk dari fungsi Green nya adalah:

Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika adalah operator dalam polinomial).

Tabel fungsi Green[sunting | sunting sumber]

Tabel berikut memberikan gambaran umum tentang fungsi Green dari operator diferensial yang sering muncul, di mana , , adalah fungsi langkah Heaviside, adalah fungsi Bessel, adalah fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis pertama, dan adalah Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua.[1] Di mana waktu ( t ) muncul di kolom pertama, fungsi Green lanjutan (kausal) terdaftar.

Operator diferensial L Fungsi Green G Contoh aplikasi
  with   Osilator harmonik teredam 1D
Operator Laplace 2D   with   Persamaan 2D Poisson
Operator Laplace 3D   with   Persamaan Poisson
Operator Helmholtz 3D stasioner persamaan Schrödinger untuk partikel bebas
in dimensions Potensi Yukawa, Penyebar Feynman
1D wave equation
2D persamaan gelombang
D'Alembert operator 3D persamaan gelombang
1D difusi
2D difusi
3D difusi
1D Persamaan Klein–Gordon
2D Persamaan Klein–Gordon
3D Persamaan Klein–Gordon
telegrapher's equation
2D konduksi panas relativistik
3D konduksi panas relativistik

Contoh[sunting | sunting sumber]

Contoh. Temukan fungsi Hijau untuk masalah berikut, dengan Nomor fungsi Green adalah X11:

Langkah pertama: Fungsi Green untuk operator linier yang ada didefinisikan sebagai solusi untuk

Jika , maka fungsi delta memberikan nol, dan solusi umumnya adalah

Untuk , kondisi batas di menyiratkan

jika and .

Untuk , kondisi batas di menyiratkan

Persamaan dilewati karena alasan yang sama.

Untuk meringkas hasil sejauh ini:

Tahap kedua: Tugas selanjutnya adalah menentukan dan .

Memastikan kontinuitas dalam fungsi Green di menyiratkan

Seseorang dapat memastikan diskontinuitas yang tepat pada turunan pertama dengan mengintegrasikan persamaan diferensial dari untuk dan mengambil batas sebagai pergi ke nol:

Dua persamaan kontinuitas (dis) dapat diselesaikan untuk dan to obtain

Jadi fungsi Green untuk masalah ini adalah:

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan Kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Dalam jargon teknis "biasa" berarti hanya solusi sepele () ada untuk masalah homogen ().

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ beberapa contoh diambil dari Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (German)
  • Bayin, S.S. (2006). Mathematical Methods in Science and Engineering. Wiley. Chapters 18 and 19. 
  • Eyges, Leonard (1972). The Classical Electromagnetic Field. New York, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-63947-9. 
    Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.
  • Polyanin, A.D.; Zaitsev, V.F. (2003). Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (edisi ke-2nd). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2. 
  • Polyanin, A.D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9. 
  • Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical methods of physics (edisi ke-2nd). New York: W. A. Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1. 
  • Folland, G.B. Fourier Analysis and its Applications. Mathematics Series. Wadsworth and Brooks/Cole. 
  • Cole, K.D.; Beck, J.V.; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, B. (2011). "Methods for obtaining Green's functions". Heat Conduction Using Green's Functions. Taylor and Francis. hlm. 101–148. ISBN 978-1-4398-1354-6. 
  • Green, G (1828). An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism. Nottingham, England: T. Wheelhouse. pages 10-12. 
  • Faryad and, M.; Lakhtakia, A. (2018). Infinite-Space Dyadic Green Functions in Electromagnetism. London, UK / San Rafael, CA: IoP Science (UK) / Morgan and Claypool (US). 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]