Pi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Simbol Pi, π.

Bilangan \pi\,\! (kadang-kadang ditulis pi) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai \pi\,\! dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam matematika, sains, dan teknik yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang penting. π adalah bilangan irasional, yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan π; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai eksak π.) Oleh karena itu pula, representasi desimal π tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal π tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. π adalah bilangan transendental, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koeefisien rasional. Transendensi π memiliki implikasi pada ketidakmungkinan teka-teki matematika kuno "mengkuardatkan lingkaran dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris" untuk dapat dipecahkan.

Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman kita akan bilangan π. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan π hingga keakuratan yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti Archimedes dan Liu Hui menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai π. Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai π. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti Madhava dari Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, dan Srinivasa Ramanujan.

Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal π sampai dengan lebih 10 triliun (1013) digit.[1] Penerapan bilangan π dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari 40 digit desimal π, sehingga motivasi utama dari komputasi ini didasarkan pada keingintahuan manusia. Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan superkomputer dan algoritme perkalian presisi tinggi.

Karena definisi π berhubungan dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus trigonometri dan geometri, terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. π juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti kosmologi, teori bilangan, statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme. Keberadaan π yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmiuwan. Hal ini terbukti dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan hari Pi, dan pemberitaan-pemberitaan yang luas manakala perhitungan digit π berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan π dengan rekor 67.000 digit.

Tinjauan dasar[sunting | sunting sumber]

Nama[sunting | sunting sumber]

Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "π". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi pi menggunakan huruf latin.[2] Huruf kecil π (atau π dalam fon sans-serif) berbeda dengan huruf besar π, yang mewakili perkalian barisan.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Keliling sebuah lingkaran adalah sedikit lebih panjang dari tiga kali panjang diamternya. Perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya disebut π.

π umumnya didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran C dengan diameternya d:[3]

 \pi = \frac{C}{d}

Rasio C/d bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio C/d akan tetap sama. Definisi π seperti ini secara implisit menggunakan geomteri Euklides. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam geometri non-Euklides, namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus π = C/d.[3] Terdapat pula definisi π lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: π adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil x yang mana cos(x) sama dengan 0.[3][4]

Ciri-ciri[sunting | sunting sumber]

π adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat.[5] Karena π irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa π irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. Sejauh mana bilangan π dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui.[6]

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
Karena π adalan bilangan transendental, Pengkuardatan lingkaran tidaklah dimungkinkan menggunakan jangka dan penggaris.

π adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari polinom non-konstan berkoefisien rasional manapun seperti \scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.[7] Transendensi π mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama, π tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan akar kuardat ataupun akar pangkat ke-n manapun seperti \scriptstyle \sqrt[3]{31} atau \scriptstyle \sqrt[2]{10}. Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "mengkuadratkan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris.[8] Pengkuadratan lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik.[9] Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mengkuadratkan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.[10]

Digit-digit π tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.[11] Hipotesis bahwa π adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah.[11] Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit π telah berhasil dikomputasi untuk dianalisa secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisa secara detail digit-digit desimal π dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun.[12] Walaupun digit-digit π telah melewati uji keacakan statistik, π mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya titik Feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 π.[13]

Pecahan kontinu[sunting | sunting sumber]

Sama seperti semua bilangan irasional lainnya, π tidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasuk π dapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai pecahan kontinu:


\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}

Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan π; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap π. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk π tidak memiliki pola-pola tertentu,[14] matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:[15]

\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Zaman kuno[sunting | sunting sumber]

Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah 1760/280 ≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2π ≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan π dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini.[16] Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada butki lain apapun yang mendukungnya.[17]

Pendekatan tertulis terhadap nilai π paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan π sebagai 25/8 = 3,1250.[18] Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan kopian dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai π sebagai (16/9)2 ≈ 3,1605.[18]

Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai π sebesar (9785/5568)2 ≈ 3,088.[19] Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan π sama dengan \scriptstyle \sqrt{10} ≈ 3,1622.[20]

Dua ayat dalam alkitab Ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam Bait Salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa π adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran.[21][22] Rabbi Nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah Mishnat ha-Middot yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai π sebesar tiga dan sepertujuh.[23]

Zaman pendekatan poligon[sunting | sunting sumber]

diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle
π dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon luar dan dalam lingkaran.

Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai π adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes.[24] Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya π kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes".[25] Archimedes menghitung batas atas dan bawah π dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa 223/71 < π < 22/7 (3,1408 < π < 3,1429).[26] Batas atas Archimedes sekitar 22/7 membuat banyak orang percaya bahwa π sama dengan 22/7.[27] Sekitar tahun 150, Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai π sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga.[28] Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit π pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.[29]

A painting of a man studying
Archimedes mengembangkan algoritme poligon untuk menghitung nilai pendekatan π.

Pada zaman Cina kuno, nilai π adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi), \scriptstyle \sqrt{10} (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556).[30] Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritme iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai π sebesar 3,1416.[31][32] Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon.[31] Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitung bahwa π ≈ 355/113 (pecahan ini dinamakan pecahan Milü dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.[33]

Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499).[34] Fibonacci pada tahun  1220 menghitung nilai π dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.[35]

Astronom Persia Jamshīd al-Kāshī menghasilkan 16 digit nilai π pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×228,[36][37]. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.[38] Matematikawan Perancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×217.[38] Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.[38] Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.[39] Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621,[40] dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630,[41] adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.[40]

Deret tak terhingga[sunting | sunting sumber]

Perhitungan π direvolusi oleh berkembangnya teknik deret tak terhingga pada abad ke-16 dan 17. Deret tak terhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.[42] Hal ini mengijinkan matematikawan menghitung nilai π dengan presisi yang melebihi metode Archimedes.[42] Walaupun metode deret tak terhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai π, pendekatan ini pertama kali ditemukan di India antara tahun 1400 dan 1500.[43] Deskripsi tertulis pertama mengenai deret tak terhingga yang dapat digunakan untuk menghitung π terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India Nilakantha Somayaji dalam buku Tantrasamgraha sekitar tahun 1500.[44] Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam Yuktibhāṣā sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India Madhava dari Sangamagrama yang hidup antara tahun 1350 – c. 1425.[44] Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret Madhava atau deret Gregory-Leibniz.[44] Madhava menggunakan deret tak terhingga untuk memperkirakan nilai π sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia Jamshīd al-Kāshī pada tahun 1430 menggunakan algoritma poligon.[45]

A formal portrait of a man, with long hair
Isaac Newton menggunakan deret tak terhingga untuk menghitung nilai π sampai 15 digit.[46]

Deret tak terhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah perkalian tak terhingga (daripada penjumlahan tak terhingga), yang ditemukan oleh matematikawan Perancis François Viète pada tahun 1593:[47]

 \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots

Deret tak terhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh John Wallis pada tahun 1655 juga merupakan perkalian tak terhingga.[47] Penemuan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret tak terhingga untuk menghitung nilai π. Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung π sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666. [46]

Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia James Gregory pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:[48][49]


\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots

Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan \scriptstyle \pi/4 ketika dievaluasi bersama dengan z = 1.[49] Pada tahun 1699, matematikawan Inggris Abraham Sharp menggunakan deret ini untuk menghitung π sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya.[50] Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun berkonvergen sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung π.[51]

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:[52]

 \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}

Machin mencapai 100 digit π dengan rumus ini.[53] Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit π secara suksesif.[53] Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digit π yang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digit π terus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apapun.[54]

Matematikawan Britania William Shanks terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai π sampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.[55]

Laju konvergensi[sunting | sunting sumber]

Beberapa deret tak terhingga untuk π berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu.[56] Deret tak terhingga untuk π yang sederhana misalnya deret Gregory-Leibniz:[57]

 \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots

akan perlahan-lahan mendekati π. Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk π.[58]

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):[59]

 \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots

Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:

Deret tak terhingga untuk π Setelah suku ke-1 Setelah suku ke-2 Setelah suku ke-3 Setelah suku ke-4 Setelah suku ke-5 Berkonvergen ke:
\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots. 4,0000 2,6666... 3,4666... 2,8952... 3,3396... π = 3,1415...
\scriptstyle \pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} \cdots. 3,0000 3,1666... 3,1333... 3,1452... 3,1396...

Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai π sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan π. Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi deret Machin dan deret Chudnovsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.[56]

Irasionalitas dan transendensi[sunting | sunting sumber]

Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan dengan π ditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatan π. Ketika Euler menyelesaikan masalah Basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra π dengan bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta Riemann:[60]

 \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots

Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa π adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.[5] Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.[61] Matematikawan Perancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa π2 jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa π adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.[62]

Penggunaan simbol π[sunting | sunting sumber]

Leonhard Euler mempopulerkan penggunaan huruf Yunani π dalam karyanya yang dipublikasikan pada tahun 1736 dan 1748.

Huruf Yunani π paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 "Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics".[63] Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery π" (1/2 keliling π) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol π karena π adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani.[64] Namun ia menulis bahwa persamaan untuk π tersebut berasal dari John Machin.[65] Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri.[65] William Oughtred menggunakan π dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani π ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p.[65] Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf π meluas dengan cepat.[65] Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol π dalam karyanya Introductio in analysin infinitorum (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai π; sehingga π sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan π yang universal di Barat.[65]

Pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern[sunting | sunting sumber]

Zaman komputer dan algoritme iteratif[sunting | sunting sumber]

Formal photo of a balding man wearing a suit
John von Neumann merupakan salah satu anggota tim ENIAC yang menggunakan komputer digital untuk mengkomputasi π.

Algoritme iteratif Gauss–Legendre:
Inisialisasi

\scriptstyle a_0 = 1 \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad p_0 = 1

Iterasi

\scriptstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}
\scriptstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n

Maka perkiraan untuk nilai π dihasilkan oleh

\scriptstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal π. Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.[66] Dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam.[67] Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.[68]

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi π. Pertama, penemuan algoritme iteratif baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan algoritme perkalian cepat yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.[69] Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.[70] Algoritme seperti ini contohnya algoritme Karatsuba, perkalian Toom-Cook, dan metode berbasis transformasi Fourier.[71]

Algoritme iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika Eugene Salamin dan ilmuwan Australia Richard Brent.[72] Algoritme ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritme iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.

Algoritme iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritme ini lebih cepat daripada algoritme deret tak terhingga. Manakala algoritme deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritme iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritme Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritme iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi.[73] Metode iteratif digunakan oleh matematikawan Yasumasa Kanada untuk memecahkan beberapa rekor komputasi π antara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002.[74] Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga..[74]

Motivasi komputasi π[sunting | sunting sumber]

Seiring dengan ditemukannya algoritme-algoritme baru dan daya perhitungan komputer yang semakin cepat, jumlah digit desimal bilangan π yang ditemukan meningkat secara dramatis.

Dalam perhitungan numeris yang melibatkan π, biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal π untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit π sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom.[75] Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi π sampai dengan ribuan dan jutaan digit.[76] Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia.[77][78] Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritme analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit π.[79]

Deret konvergen cepat[sunting | sunting sumber]

potret Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Ramanujan yang meneliti sendirian di India, berhasil menemukan banyak deret-deret yang inovatif untuk menghitung π.

Kalkulator π modern tidak menggunakan algoritme iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritme iteratif, namun lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit.[74] Penemuan algoritme iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk π yang berkonvergen sangat cepat.[80] Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut:

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4(396^{4k})}

Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin.[81] Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung π dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985.[82] Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritme-algoritme modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara.[83] Rumus Chudnovsky yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}

Rumus ini menghasilkan 14 digit π setiap sukunya,[84] dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan π yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 109 digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×1012) digit oleh Fabrice Bellard pada tahun 2009, dan 10 triliun (1013) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.[85][1]

Pada tahun 2006, matematikawan Kanada Simon Plouffe menggunakan algoritme relasi integer PSLQ[86] untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk π, yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:

\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)

dengan \mathit{q} adalah eπ (konstanta Gelfond),  \mathit{k} adalah bilangan ganjil, dan \mathit{a, b, c} adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.[87]

Algoritme keran[sunting | sunting sumber]

Dua algoritme baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset π. Algoritme ini dinamakan algoritme keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritme ini menghasikan satu digit tunggal π yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung.[88][89] Algoritme ini berbeda dari algoritme-algoritme deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.[88]

Matematikawan Amerika Stan Wagon dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995.[89][90][91] Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.[90]

Algoritme keran lainnya, algoritme ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:[92][93]

 \pi = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6}\right)

Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit π heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya.[92] Digit-digit individu oktal maupun biner dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritme ini telah ditemukan, namun tiada satupun algoritme ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat.[94] Aplikasi penting dari algoritme ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi π yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritme ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit π yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar[1]

Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritme BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-1015) π, yang hasilnya adalah 0.[95] Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit π pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×1015), yang hasilnya juga nol.[96]

Kegunaan[sunting | sunting sumber]

Karena π berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. π juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

Geometri and trigonometri[sunting | sunting sumber]

Luas lingkaran di atas adalah sama dengan π kali luas daerah yang diarsir.

π muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan π misalnya:[97]

  • Keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah  2 \pi r
  • Luas lingkaran dengan jari-jari r adalah  \pi r^2
  • Volume bola dengan jari-jari r adalah  \tfrac43\pi r^3
  • Luas permukaan bola dengan jari-jari r adalah  4 \pi r^2

π muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:[98]

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}

Dalam integral tersebut, fungsi \scriptstyle \sqrt{1-x^2} mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya \scriptstyle \int_{-1}^1 menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x.

Diagram showing graphs of functions
Fungsi sinus dan kosinus berulang dengan periode 2π.

Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. π memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2π radian.[99] Hal ini berarti 180° sama dengan π radian, dan 1° = π/180 radian.[99]

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari π, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2π,[100] sehingga untuk sudut θ apapun dan bilangan bulat k apapun, \scriptstyle \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right) and \scriptstyle \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).[100]

Metode Monte Carlo[sunting | sunting sumber]

\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}

Bilangan kompleks dan analisis[sunting | sunting sumber]

z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)
e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi
e^{i \pi} + 1 = 0
e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)
f (z_{0}) = \frac{1}{ 2\pi i } \oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz

Teori bilangan dan fungsi Riemann zeta[sunting | sunting sumber]

 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_p^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots } = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%

Probabilitas dan statistik[sunting | sunting sumber]

Sebuah grafik dari fungsi Gaussian
ƒ(x) = ex2. Wilayah berwarna antara fungsi dan x-axis has wilayah  \scriptstyle\sqrt{\pi} .

Freukensi besar probabilitas dan statistik menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan observasi dalam kebanyakan percobaan diikuti sebuah distribusi normal.[101] π dibentuk dalam fungsi Gaussian (dengan fungsi kepekatan probabilitas dari distribusi normal) dengan arti μ dan simpangan baku σ:[102]

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}

Wilayah di bawah grafik kurva distribusi normal didapat dari integral Gaussian:[102]

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx=\sqrt{\pi},

Sementara integral terkait untuk distribusi Cauchy adalah

\int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x^2+1} \, dx = \pi.

Rumus dengan π[sunting | sunting sumber]

Bentuk Rumus
Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d K = \pi d = 2 \pi r \,\!
Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d L = \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi d^2 \,\!
Volume bola dengan jari-jari r atau diameter d V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\! atau V = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!
Luas permukaan bola dengan jari-jari r atau diameter d L = 4 \pi r^2 \,\! atau L = \pi d^2 \,\!
Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r V = \pi r^2 h \,\!
Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r L = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

Diluar matematika[sunting | sunting sumber]

Penggambaran fenomena fisika[sunting | sunting sumber]

T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6}
F =\frac{\pi^2EI}{L^2}
F =6 \, \pi \, \eta \, R \, v
\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx

Rujukan[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki
  1. ^ a b c "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi", NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.
  2. ^ Holton, David; Mackridge, Peter (2004). Greek: an Essential Grammar of the Modern Language. Routledge. ISBN 0-415-23210-4. , p. xi.
  3. ^ a b c Arndt & Haenel 2006, hlm. 8
  4. ^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. , p 183.
  5. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 5
  6. ^ Salikhov, V. (2008). "On the Irrationality Measure of pi". Russian Mathematical Survey 53 (3): 570. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. 
  7. ^ Mayer, Steve. "The Transcendence of π". Diakses 4 November 2007. 
  8. ^ Posamentier & Lehmann 2004, hlm. 25
  9. ^ Eymard & Lafon 1999, hlm. 129
  10. ^ Beckmann 1989, hlm. 37
    Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8. , p 185.
  11. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 22–23
    Preuss, Paul (23 July 2001). "Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key". Lawrence Berkeley National Laboratory. Diakses 10 November 2007. 
  12. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 22, 28–30
  13. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 3
  14. ^ "Sloane's A001203 : Continued fraction for Pi", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 12 April 2012.
  15. ^ Lange, L. J. (May 1999). "An Elegant Continued Fraction for π". The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152. 
  16. ^ "We can conclude that although the ancient Egyptians could not precisely define the value of π, in practice they used it". Verner, M. (2003). The Pyramids: Their Archaeology and History. , p. 70.
    Petrie (1940). Wisdom of the Egyptians. , p. 30.
    Lihat pula Legon, J. A. R. (1991). "On Pyramid Dimensions and Proportions". Discussions in Egyptology 20: 25–34. .
    Lihat pula also Petrie, W. M. F. (1925). "Surveys of the Great Pyramids". Nature Journal 116 (2930): 942–942. Bibcode:1925Natur.116..942P. doi:10.1038/116942a0. 
  17. ^ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.
    Skeptics: Shermer, Michael, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 978-1-57607-653-8.
    Lihat pula Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-415-30593-8.
    Untuk sederetan penjelasan mengenai bentuk piramida yang tak melibatkan π, lihat Roger Herz-Fischler (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. hlm. 67–77, 165–166. ISBN 9780889203242. Diakses 2013-06-05. 
  18. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 167
  19. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 168–169
  20. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 169
  21. ^ Ayat tersebut adalah 1 Kings:7:23-NKJV and 2 Chronicles:4:2-NKJV; lihat Arndt & Haenel 2006, hlm. 169, Schepler 1950, hlm. 165, dan Beckmann 1989, hlm. 14–16.
  22. ^ Gagasan bahwa kolam ini berbentuk heksagonal telah diberikan sebagai penjelasan terhadap disparitas ini. Lihat Borwein, Jonathan M.; Bailey, David H. (2008). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century (ed. revised 2nd). A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-442-1. , pp. 103, 136, 137.
  23. ^ James A. Arieti, Patrick A. Wilson (2003). The Scientific & the Divine. Rowman & Littlefield. hlm. 9–10. ISBN 9780742513976. Diakses 2013-06-05. 
  24. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 170
  25. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 175, 205
  26. ^ "The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central". Mathworks.com. Diakses 2013-03-12. 
  27. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 171
  28. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 176
    Boyer & Merzbach 1991, hlm. 168
  29. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.
  30. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 176–177
  31. ^ a b Boyer & Merzbach 1991, hlm. 202
  32. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 177
  33. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 178
  34. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 179
  35. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 180
  36. ^ Azarian, Mohammad K. (2010), [[1][pranala nonaktif] "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary"] (PDF), Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85. 
  37. ^ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999), "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi", MacTutor History of Mathematics archive, diakses August 11, 2012. 
  38. ^ a b c Arndt & Haenel 2006, hlm. 182
  39. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 182–183
  40. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 183
  41. ^ Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica[[Kategori:Artikel mengandung aksara Latin]] (PDF) (dalam bahasa Latin).  Wikilink embedded in URL title (help) Nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
  42. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 185–191
  43. ^ Roy 1990, hlm. 101–102
    Arndt & Haenel 2006, hlm. 185–186
  44. ^ a b c Roy 1990, hlm. 101–102
  45. ^ Joseph 1991, hlm. 264
  46. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 188. Newton quoted by Arndt.
  47. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 187
  48. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 188–189
  49. ^ a b Eymard & Lafon 1999, hlm. 53–54
  50. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 189
  51. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 156
  52. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 192–193
  53. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 72–74
  54. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 192–196, 205
  55. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 194–196
  56. ^ a b Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1988). "Ramanujan and Pi". Scientific American 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. doi:10.1038/scientificamerican0288-112. 
    Arndt & Haenel 2006, hlm. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
  57. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 69–72
  58. ^ Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. (1989). "Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions". American Mathematical Monthly 96 (8): 681–687. doi:10.2307/2324715. 
  59. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 223, (formula 16.10). Perhatikan bahwa (n − 1)n(n + 1) = n3 − n.
    Wells, David (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (ed. revised). Penguin. hlm. 35. ISBN 978-0-140-26149-3. 
  60. ^ Posamentier & Lehmann 2004, hlm. 284
  61. ^ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in Berggren, Borwein & Borwein 1997, hlm. 129–140
  62. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 196
  63. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 165.
  64. ^ Lihat Schepler 1950, hlm. 220: William Oughtred menggunakan huruf π untuk mewakili keliling suatu lingkaran.
  65. ^ a b c d e Arndt & Haenel 2006, hlm. 166
  66. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 205
  67. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 197. See also Reitwiesner 1950.
  68. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 197
  69. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 15–17
  70. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 131
  71. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 132, 140
  72. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 87
  73. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
    See Borwein & Borwein 1987 for details of algorithms.
  74. ^ a b c Bailey, David H. (16 May 2003). "Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation". Diakses 12 April 2012. 
  75. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 17. "39 digit π cukup untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan taraf atom."
    Dengan mempertimbangkan digit tambahan yang diperlukan untuk mengkompensasikan pembulatan, Arndt menyimpulkan bahwa beberapa ratus digit sudah mencukupi untuk perhitungan-perhitungan ilmiah apapun.
  76. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 17–19
  77. ^ Schudel, Matt (25 March 2009). "John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi". The Washington Post. hlm. B5. 
  78. ^ "The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?". The Independent. 8 January 2010. Diakses 14 April 2012. 
  79. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 18
  80. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 103–104
  81. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 104
  82. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 104, 206
  83. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 110–111
  84. ^ Eymard & Lafon 1999, hlm. 254
  85. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 110–111, 206
    Bellard, Fabrice, "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer", 11 Feb 2010.
  86. ^ PSLQ singkatan dari Partial Sum of Least Squares.
  87. ^ Plouffe, Simon (April 2006). "Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)". Diakses 10 April 2009. 
  88. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 77–84
  89. ^ a b Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.
  90. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 77
  91. ^ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (March 1995). "A spigot algorithm for the digits of Pi". American Mathematical Monthly 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006.  Sebuah program komputer juga elah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritme keran Wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.
  92. ^ a b Arndt & Haenel 2006, hlm. 117, 126–128
  93. ^ Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. 
  94. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 128. Plouffe sebenarnya juga menemukan algoritme ektraksi digit desimal, namun algoritme ini lebih lambat daripada komputasi langsung semua digit-digit π.
  95. ^ Arndt & Haenel 2006, hlm. 20
    Bellards formula in: Bellard, Fabrice. "A new formula to compute the nth binary digit of pi". Diarsipkan dari aslinya tanggal 12 September 2007. Diakses 27 October 2007. 
  96. ^ Palmer, Jason (16 September 2010). "Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit". BBC News. Diakses 26 March 2011. 
  97. ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, hlm. 200, 209
  98. ^ Eric W. Weisstein, {{{title}}} di MathWorld.
  99. ^ a b Ayers 1964, hlm. 60
  100. ^ a b Bronshteĭn & Semendiaev 1971, hlm. 210–211
  101. ^ Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, pp 174–190.
  102. ^ a b Bronshteĭn & Semendiaev 1971, hlm. 106–107, 744, 748
Referensi

Pranala luar[sunting | sunting sumber]