Bilangan transendental

Dalam matematika, bilangan transendental adalah bilangan riil atau kompleks yang bukan merupakan bilangan aljabar. Dengan kata lain, bilangan transendental adalah bilangan yang bukan merupakan akar dari polinomial tak nol dengan koefisien bilangan bulat (atau secara ekuivalen, bilangan rasional). Contoh terkenal dari bilangan transendental adalah π dan e.

Meskipun hanya sedikit golongan bilangan transendental yang diketahui (salah satu alasannya adalah sulitnya proses pembuktian bahwa suatu bilangan tertentu merupakan bilangan transendental), bilangan transendental tidaklah langka: hampir semua bilangan real dan kompleks merupakan bilangan transendental, sebab himpunan semua bilangan aljabar merupakan himpunan terhitung, sementara himpunan bilangan riil $\mathbb {R}$ dan himpunan bilangan kompleks $\mathbb {C}$ sama-sama merupakan himpunan takterhitung, dan oleh karena itu, lebih besar dari himpunan terhitung manapun.

Semua bilangan transendental merupakan bilangan irasional, sebab semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar. Akan tetapi, konvers dari pernyataan tersebut tidaklah benar: Tidak semua bilangan irasional merupakan bilangan transendental. Akibatnya, himpunan bilangan riil terdiri dari tiga himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irasional aljabar, dan himpunan bilangan riil transendental. Sebagai contoh, akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan irasional, tetapi bukan transendental, sebab bilangan tersebut merupakan akar dari persamaan polinomial $x^{2}-2=0$. Rasio emas (disimbolkan dengan $\varphi$ atau $\phi$) adalah contoh lain dari bilangan irasional yang bukan transendental, sebab ia merupakan akar dari persamaan $x^{2}-x-1=0$.

Sejarah

Nama "transendental" berasal dari bahasa Latin trānscendere, artinya "melewati atau melampaui, mengatasi", dan pertama kali digunakan untuk konsep matematika pada paper dari Leibniz pada tahun 1682 dimana beliau membuktikan bahwa $\sin(x)$ bukanlah fungsi aljabar dari $x$.

Johann Heinrich Lambert memberikan konjektur bahwa e dan π keduanya merupakan bilangan transendental pada paper bukti bahwa $\pi$ irasional miliknya di tahun 1768, dan mengajukan sketsa bukti tentatif bahwa $\pi$ transendental.

Joseph Liouville adalah orang pertama yang membuktikan kewujudan bilangan transendental pada tahun 1844, dan pada tahun 1851, beliau memberikan contoh pertama dalam bilangan desimal, seperti konstanta Liouville $${\begin{aligned}L&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }10^{-n!}\\&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{5040}+\ldots \\&=0,{\underline {1}}{\underline {1}}000{\underline {1}}00000000000000000{\underline {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}$$

dimana digit ke-$n$ setelah koma desimal adalah 1 jika $n=k!$ ($k$ faktorial) untuk suatu bilangan asli $k$, dan 0 untuk digit-digit lainnya. Dengan kata lain, digit ke-$n$ dari bilangan ini ialah 1 hanya jika $n$ adalah $1!,\,2!,\,3!,\,4!$, dst. Liouville berhasil menunjukkan bahwa bilangan ini termasuk ke dalam golongan bilangan yang dapat dihampiri dengan lebih dekat oleh bilangan rasional dibandingkan dengan bilangan irasional aljabar manapun, dan golongan bilangan ini disebut sebagai bilangan Liouville. Liouville berhasil menunjukkan bahwa semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.

Bilangan pertama yang terbukti transendental tanpa dikonstruksikan secara spesifik dengan tujuan untuk membuktikan kewujudan bilangan transendental ialah e oleh Charles Hermite pada tahun 1873.

Pada tahun 1874, Georg Cantor membuktikan bahwa himpunan semua bilangan aljabar merupakan himpunan terhitung dan himpunan bilangan riil merupakan himpunan takterhitung. Beliau juga memberikan metode baru untuk mengonstruksikan bilangan transendental. Walaupun hal ini sudah diakibatkan dari bukti miliknya mengenai keterhitungan himpunan bilangan aljabar, Cantor juga menerbitkan konstruksi yang membuktikan bahwa bilangan transendental sama banyaknya dengan bilangan riil.

Pada tahun 1882, Ferdinand von Lindemann menerbitkan bukti pertama bahwa $\pi$ transendental.

1. Beliau membuktikan bahwa $e^{z}$ merupakan bilangan transendental jika $z$ merupakan bilangan aljabar tak nol.
2. Oleh karena $e^{i\pi }$ merupakan bilangan aljabar (lihat identitas Euler), maka $i\pi$ haruslah transendental.
3. Mengingat bahwa $i$ merupakan bilangan aljabar, maka $\pi$ haruslah bilangan transendental.

Pendekatan ini kemudian diperumum oleh Karl Weierstrass menjadi apa yang dikenal sekarang sebagai teorema Lindemann–Weierstrass. Ketransendentalan $\pi$ mengakibatkan bahwa konstruksi geometris yang hanya melibatkan lukisan jangka dan mistar tidak dapat menghasilkan hasil tertentu, seperti mempersegikan lingkaran.

Pada tahun 1900, David Hilbert mengajukan pertanyaan mengenai bilangan transendental, yang dikenal sebagai masalah ke-7 Hilbert: Jika $a$ merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1, dan $b$ merupakan bilangan aljabar irasional, apakah $a^{b}$ merupakan bilangan transendental? Jawaban afirmatif diberikan pada tahun 1934 oleh teorema Gelfond–Schneider.

Sifat-sifat

• Setiap bilangan rasional merupakan bilangan aljabar (sebab bilangan $x={\tfrac {a}{b}}$ merupakan akar dari persamaan polinomial $ax-b=0$). Akibatnya, setiap bilangan transendental merupakan bilangan irasional, dengan menggunakan kontraposisi.
• Himpunan semua polinomial dengan koefisien rasional merupakan himpunan terhitung dan banyak akar dari setiap polinomial tersebut adalah berhingga. Akibatnya, himpunn semua bilangan aljabar juga merupakan himpunan terhitung. Akan tetapi, argumen diagonal Cantor membuktikan bahwa himpunan semua bilangan riil (dan oleh sebab itu, himpunan semua bilangan kompleks) merupakan himpunan takterhitung. Oleh karena himpunan bilangan riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan aljabar dan himpunan bilangan transendental, maka mustahil bagi kedua himpunan bagian tersebut untuk sama-sama berstatus sebagai himpunan terhitung. Hal ini mengakibatkan bahwa himpunan bilangan transendental merupakan himpunan takterhitung.
• Menyubstitusikan suatu nilai transendental ke fungsi aljabar dengan variabel tunggal akan menghasilkan nilai yang transendental. Misalnya, berdasarkan informasi bahwa $\pi$ merupakan bilangan transendental, maka dapat disimpulkan bahwa $8\pi$, $11-3\pi$, ${\tfrac {\pi -12}{\sqrt {7}}}$, $({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}$, dan ${\sqrt[{4}]{7+\pi ^{5}}}$ juga merupakan bilangan transendental.
  • Akan tetapi, fungsi aljabar dengan multivariabel mungkin saja menghasilkan bilangan aljabar saat variabelnya bernilai transendental dan tidak bebas aljabar. Misalnya, bilangan $\pi$ dan $1-\pi$ sama-sama merupakan bilangan aljabar, tetapi $\pi +(1-\pi )$ jelas tidak.
• Semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental, namun tidak sebaliknya.

Bilangan yang terbukti transendental

Terdapat beberapa bilangan yang terbukti sebagai bilangan transendental, diantaranya yaitu:

• $\pi$ (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
• $e^{z}$ dengan $z$ adalah bilangan aljabar tak nol (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
  • termasuk bilangan Euler $e$
• $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ dengan $n$ adalah bilangan asli (dibuktikan melalui teorema Gelfond–Schneider)
  • termasuk konstanta Gelfond $e^{\pi }$
• $a^{b}$ dengan $a$ merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1, dan $b$ merupakan bilangan irasional (dibuktikan melalui teorema Gelfond–Schneider)
  • termasuk konstanta Gelfond–Schneider $2^{\sqrt {2}}$
• Logaritma alami $\ln(a)$ jika $a$ merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1 (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
• $^{a}\!\log b$ jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan asli yang bukan merupakan perpangkatan dari suatu bilangan bulat yang sama, serta $a\neq 1$ (dibuktikan melalui teorema Gelfond–Schneider)
• Fungsi trigonometri $\sin(x)$, $\cos(x)$, beserta versi hiperboliknya, untuk setiap bilangan aljabar tak nol $x$ dalam satuan radian (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
• Hasil-hasil tak nol dari fungsi invers trigonometri $\arcsin(x)$, $\arccos(x)$, beserta versi hiperboliknya, untuk setiap bilangan aljabar $x$ (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
• ${\tfrac {\arctan(x)}{\pi }}$, dengan $x\in \mathbb {Q} \setminus \left\{-1,\,0,\,1\right\}$
• Titik tetap dari fungsi kosinus (yang dikenal juga dengan bilangan Dottie $d$), yaitu penyelesaian riil tunggal dari persamaan $\cos(x)=x$, dengan $x$ dalam satuan radian (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
• Fungsi W Lambert $W(a)$, dengan $a$ merupakan bilangan aljabar tak nol (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
  • Termasuk konstanta omega $\Omega$.
• Setiap bilangan Liouville
  • Termasuk konstanta Liouville $\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\dfrac {1}{10^{k!}}}$
• Konstanta Prouhet–Thue–Morse dan konstanta kelinci yang berkaitan.
• Konstanta Komornik–Loreti
• Nilai-nilai dari pecahan berlanjut Rogers–Ramanujan $R(q)$, dengan $q$ merupakan bilangan kompleks aljabar yang memenuhi pertidaksamaan $0<\left|q\right|<1$.
  • Nilai lemniskatik dari fungsi theta $\sum _{n\,=\,-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$ (nilai $q$ memenuhi persyaratan yang sama seperti sebelumnya) juga merupakan bilangan transendental.

Konjektur bilangan transendental

• Banyak kombinasi yang tak trivial dari dua (atau lebih) bilangan transendental yang belum diketahui transendental atau bahkan irasional: $e\pi$, $e+\pi$, $\pi ^{\pi }$, $e^{e}$, $\pi ^{e}$, $\pi ^{\sqrt {2}}$, $e^{\pi ^{2}}$. Kebenaran atas konjektur Schanuel akan mengakibatkan semua bilangan di atas bersifat transendental dan bebas aljabar.
• Konstanta Euler–Mascheroni $\gamma$: Pada tahun 2010, telah ditunjukkan bahwa daftar takhingga dari konstanta Euler–Lehmer (termasuk $\gamma /4$) memuat paling banyak satu bilangan aljabar. Pada tahun 2012, telah ditunjukkan bahwa setidaknya salah satu dari $\gamma$ dan konstanta Gompertz $\delta$ merupakan bilangan transendental.
• Nilai dari fungsi zeta Riemann $\zeta (n)$ untuk bilangan ganjil $n\geq 3$
  • Termasuk konstanta Apéry $\zeta (3)$, yang diketahui merupakan bilangan irasional. Untuk bilangan lain $\zeta (5)$, $\zeta (7)$, $\zeta (7)$, $\zeta (9)$, $\cdots$ informasi keirasionalannya bahkan belum diketahui.
• Nilai dari fungsi beta Dirichlet $\beta (n)$ untuk bilangan genap $n\geq 2$
  • Termasuk konstanta Catalan $\beta (2)$
• Nilai dari fungsi Gamma $\Gamma \!\left({\tfrac {1}{n}}\right)$ untuk $n=5$ dan bilangan asli $n\geq 7$ belum diketahui irasional, apalagi transendental.

Bukti untuk bilangan spesifik

Bukti bahwa e transendental

Bukti pertama yang menyatakan bahwa basis dari logaritma alami (yaitu $e$) merupakan bilangan transendental berasal dari tahun 1873. Dalam artikel ini, akan digunakan strategi dari David Hilbert (1862–1943) yang menyederhanakan bukti orisinal dari Charles Hermite. Gagasannya ialah sebagai berikut:

Asumsikan bahwa $e$ merupakan bilangan aljabar, dengan tujuan untuk mencari kontradiksi. Artinya, $e$ merupakan akar dari suatu polinomial minimal $P$ yang berderajat $n$. Secara simbolis, maka terdapat suatu $a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\in \mathbb {Z}$ sedemikian sehingga $$P(e)=a_{0}+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\ldots +a_{n}e^{n}=0$$ dengan $a_{n}\neq 0$.

Lema 1 — Koefisien $a_{0}\neq 0$.

Bukti —

Akan dibuktikan bahwa $a_{0}\neq 0$ menggunakan kontradiksi.

Andaikan $a_{0}=0$, maka dengan mengingat bahwa $e\neq 0$, didapatkan $${\begin{aligned}a_{0}+a_{1}e+a_{2}e^{2}+a_{3}e^{3}+\ldots +a_{n}e^{n}&=0\\a_{1}e+a_{2}e^{2}+a_{3}e^{3}+\ldots +a_{n}e^{n}&=0\\e\left(a_{1}+a_{2}e+a_{3}e^{2}+\ldots +a_{n}e^{n-1}\right)&=0\\a_{1}+a_{2}e+a_{3}e^{2}+\ldots +a_{n}e^{n-1}&=0\end{aligned}}$$ yang berarti bahwa $e$ merupakan akar dari polinomial $a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n-1}$. Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab diasumsikan bahwa polinomial $P$ merupakan polinomial minimum. Akibatnya, asumsi di awal (bahwa koefisien $a_{0}=0$) bernilai salah, sehingga dapat disimpulkan bahwa $a_{0}\neq 0$.

Informasi bilangan bulat dari koefisien-koefisien ini sulit untuk dimanfaatkan ketika dikalikan dengan perpangkatan dari bilangan irasional $e$, namun perpangkatan tersebut dapat diserap ke dalam suatu integral yang “sebagian besar” merupakan bilangan bulat. Untuk suatu bilangan bulat $k$, didefinisikan polinomial $$p_{k}(x)=(x-1)^{k+1}(x-2)^{k+1}(x-3)^{k+1}\cdots (x-n)^{k+1}$$ sehingga diperoleh $${\begin{aligned}a_{0}+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\ldots +a_{n}e^{n}&=0\\\left(\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right)\left(a_{0}+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\ldots +a_{n}e^{n}\right)&=0\cdot \left(\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right)\\a_{0}\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{1}e\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+&{\phantom {=}}\\a_{2}e^{2}\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x&=0\end{aligned}}$$ Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk $$I_{1}+I_{2}=0$$ dengan $${\begin{aligned}I_{1}&=a_{0}\int _{0}^{0}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{1}e\int _{0}^{1}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{2}e^{2}\int _{0}^{2}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\\&{\phantom {=}}+a_{3}e^{3}\int _{0}^{3}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\\I_{2}&=a_{0}\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{1}e\int _{1}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\\&{\phantom {=}}+a_{3}e^{3}\int _{3}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\end{aligned}}$$

Lema 2 — Untuk nilai $k$ yang cukup besar, maka $\left|{\tfrac {I_{1}}{k!}}\right|<1$

Bukti —

Berdasarkan definisi dari $p_{k}(x)$, maka $${\begin{aligned}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}&=x^{k}(x-1)^{k+1}(x-2)^{k+1}(x-3)^{k+1}\cdots (x-n)^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)(x-2)(x-3)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)(x-2)(x-3)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=\left(f(x)\right)^{k}\cdot g(x)\end{aligned}}$$ Perhatikan bahwa $f(x)$ dan $g(x)$ merupakan fungsi kontinu untuk setiap nilai $x$, sehingga berdasarkan teorema nilai ekstrem, maka $f(x)$ dan $g(x)$ merupakan fungsi terbatas pada selang $\left[0,n\right]$. Dengan kata lain, terdapat suatu konstanta $M_{1},\,M_{2}>0$ sedemikian sehingga $${\begin{aligned}\left|f(x)\right|&<M_{1}&&\forall x\in \left[0,\,n\right]\\\left|g(x)\right|&<M_{2}&&\forall x\in \left[0,\,n\right]\end{aligned}}$$ Akibatnya, diperoleh $${\begin{aligned}\left|I_{1}\right|&=\left|a_{0}\int _{0}^{0}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{1}e\int _{0}^{1}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{2}e^{2}\int _{0}^{2}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right.\\&{\phantom {=}}\left.+a_{3}e^{3}\int _{0}^{3}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&\leq \left|a_{0}\int _{0}^{0}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\left|a_{1}e\int _{0}^{1}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\left|a_{2}e^{2}\int _{0}^{2}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&{\phantom {=}}+\left|a_{3}e^{3}\int _{0}^{3}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\ldots +\left|a_{n}e^{n}\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&=\left|a_{0}\right|\left|\int _{0}^{0}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\left|a_{1}\right|e\left|\int _{0}^{1}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\left|a_{2}\right|e^{2}\left|\int _{0}^{2}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&{\phantom {=}}+\left|a_{3}\right|e^{3}\left|\int _{0}^{3}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&\leq \left|a_{0}\right|\left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\left|a_{1}\right|e\left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\left|a_{2}\right|e^{2}\left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&{\phantom {=}}+\left|a_{3}\right|e^{3}\left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&=\left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|e+\left|a_{2}\right|e^{2}+\left|a_{3}\right|e^{3}+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\right)\cdot \left|\int _{0}^{n}x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\right|\\&\leq \left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|e+\left|a_{2}\right|e^{2}+\left|a_{3}\right|e^{3}+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\right)\cdot \int _{0}^{n}\left|x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\right|\,{\text{d}}x\\&=\left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|e+\left|a_{2}\right|e^{2}+\left|a_{3}\right|e^{3}+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\right)\cdot \int _{0}^{n}\left|\left(f(x)\right)^{k}\cdot g(x)\right|\,{\text{d}}x\\&=\left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|e+\left|a_{2}\right|e^{2}+\left|a_{3}\right|e^{3}+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\right)\cdot \int _{0}^{n}\left|f(x)\right|^{k}\cdot \left|g(x)\right|\,{\text{d}}x\\&\leq \left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|e+\left|a_{2}\right|e^{2}+\left|a_{3}\right|e^{3}+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\right)\cdot \int _{0}^{n}\left(M_{1}\right)^{k}\cdot M_{2}\,{\text{d}}x\\&=\left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|e+\left|a_{2}\right|e^{2}+\left|a_{3}\right|e^{3}+\ldots +\left|a_{n}\right|e^{n}\right)\cdot n\left(M_{1}\right)^{k}\cdot M_{2}\\&=\left(M_{1}\right)^{k}\cdot M_{3}\end{aligned}}$$ dengan $M_{3}$ merupakan konstanta yang tidak bergantung pada $k$, sehingga berlaku $${\begin{aligned}\lim _{k\,\to \,\infty }\left|{\dfrac {1}{k!}}\cdot I_{1}\right|&=\lim _{k\,\to \,\infty }{\dfrac {1}{k!}}\cdot \left|I_{1}\right|\\&\leq \lim _{k\,\to \,\infty }{\dfrac {1}{k!}}\cdot \left(M_{1}\right)^{k}\cdot M_{3}=0\end{aligned}}$$ Dengan menggunakan definisi limit takhingga dan memilih $\varepsilon =1$, maka terbukti bahwa untuk nilai $k$ yang cukup besar, nilai dari $\left|{\tfrac {I_{1}}{k!}}\right|<1$.

Lema 3 — Untuk setiap bilangan asli $n$, terdapat suatu bilangan asli $k>n$ sedemikian sehingga nilai dari ${\tfrac {I_{2}}{k!}}$ merupakan bilangan bulat tak nol.

Bukti —

Diambil sembarang $n\in \mathbb {N}$. Pertama, akan ditunjukkan bahwa ${\tfrac {I_{2}}{k!}}$ merupakan bilangan bulat. Ingat kembali integral fungsi gamma, yaitu $$\int _{0}^{\infty }t^{m}e^{-t}\,{\text{d}}t=m!$$ yang berlaku untuk setiap bilangan asli $m$. Secara umum,

jika $q(t)=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}+\ldots +c_{m}t^{m}$, maka $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }g(t)\,e^{-t}\,{\text{d}}t&=\int _{0}^{\infty }\left(c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+c_{3}t^{3}+\ldots +c_{m}t^{m}\right)\,e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=c_{0}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,{\text{d}}t+c_{1}\int _{0}^{\infty }te^{-t}\,{\text{d}}t+c_{2}\int _{0}^{\infty }t^{2}e^{-t}\,{\text{d}}t\\&{\phantom {=}}+c_{3}\int _{0}^{\infty }t^{3}e^{-t}\,{\text{d}}t+\ldots +c_{m}\int _{0}^{\infty }t^{m}e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=c_{0}\cdot 0!+c_{1}\cdot 1!+c_{2}\cdot 2!+c_{3}\cdot 3!+\ldots +c_{m}\cdot m!\end{aligned}}$$

Persamaan tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai eksak dari $I_{2}$, sebab setiap suku pada $I_{2}$ dapat dinyatakan sebagai $$a_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x=a_{n}\int _{n}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{n-x}\,{\text{d}}x=a_{n}\int _{0}^{\infty }(t+n)^{k}p_{k}(t+n)\,e^{-t}\,{\text{d}}t$$ melalui integral substitusi $t=x-n$. Akibatnya,

$${\begin{aligned}I_{2}&=a_{0}\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{1}e\int _{1}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\\&{\phantom {=}}+a_{3}e^{3}\int _{3}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+\ldots +a_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x\\&=a_{0}\int _{0}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{-x}\,{\text{d}}x+a_{1}\int _{1}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{1-x}\,{\text{d}}x+a_{2}\int _{2}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{2-x}\,{\text{d}}x\\&{\phantom {=}}+a_{3}\int _{3}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{3-x}\,{\text{d}}x+\ldots +a_{n}\int _{n}^{\infty }x^{k}p_{k}(x)e^{n-x}\,{\text{d}}x\\&=a_{0}\int _{0}^{\infty }t^{k}p_{k}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t+a_{1}\int _{0}^{\infty }(t+1)^{k}p_{k}(t+1)e^{-t}\,{\text{d}}t+a_{2}\int _{0}^{\infty }(t+2)^{k}p_{k}(t+2)e^{-t}\,{\text{d}}t\\&{\phantom {=}}+a_{3}\int _{0}^{\infty }(t+3)^{k}p_{k}(t+3)e^{-t}\,{\text{d}}t+\ldots +a_{n}\int _{0}^{\infty }(t+n)^{k}p_{k}(t+n)e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }\left(a_{0}t^{k}p_{k}(t)+a_{1}(t+1)^{k}p_{k}(t+1)+a_{2}(t+2)^{k}p_{k}(t+2)\right.\\&{\phantom {=}}{\phantom {\int _{0}^{\infty }}}\left.+a_{3}(t+3)^{k}p_{k}(t+3)+\ldots +a_{n}(t+n)^{k}p_{k}(t+n)\right)e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }q_{k}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t\end{aligned}}$$

Perhatikan bahwa $q_{k}(t)$ merupakan polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Dengan kata lain, $q_{k}(t)$ merupakan kombinasi linier dari perpangkatan $t^{i}$ dengan koefisien bilangan bulat. Akibatnya, bilangan $I_{2}$ merupakan kombinasi linier (dengan koefisien bilangan bulat yang sama) dari $i!$, sehingga $I_{2}$ merupakan bilangan bulat.

Berdasarkan definisi dari $p_{k}(t)$, maka $${\begin{aligned}p_{k}(x)&=(x-1)^{k+1}(x-2)^{k+1}(x-3)^{k+1}\cdots (x-n)^{k+1}\\p_{k}(t+1)&=t^{k+1}(t-1)^{k+1}(t-2)^{k+1}\cdots (t+1-n)^{k+1}\\&=t^{k+1}\cdot q_{1}(t)\\p_{k}(t+2)&=(t+1)^{k+1}t^{k+1}(t-1)^{k+1}\cdots (t+2-n)^{k+1}\\&=t^{k+1}\cdot q_{2}(t)\\p_{k}(t+3)&=(t+2)^{k+1}(t+1)^{k+1}t^{k+1}\cdots (t+3-n)^{k+1}\\&=t^{k+1}\cdot q_{3}(t)\\&\vdots \\p_{k}(t+n)&=(t+n-1)^{k+1}(t+n-2)^{k+1}(t+n-3)^{k+1}\cdots t^{k+1}\\&=t^{k+1}\cdot q_{n}(t)\end{aligned}}$$ sehingga didapatkan $${\begin{aligned}I_{2}&=\int _{0}^{\infty }\left(a_{0}t^{k}p_{k}(t)+a_{1}(t+1)^{k}p_{k}(t+1)+a_{2}(t+2)^{k}p_{k}(t+2)+a_{3}(t+3)^{k}p_{k}(t+3)+\ldots +a_{n}(t+n)^{k}p_{k}(t+n)\right)e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }\left(a_{0}t^{k}p_{k}(t)+a_{1}(t+1)^{k}t^{k+1}\cdot q_{1}(t)+a_{2}(t+2)^{k}t^{k+1}\cdot q_{2}(t)+a_{3}(t+3)^{k}t^{k+1}\cdot q_{3}(t)+\ldots +a_{n}(t+n)^{k}t^{k+1}\cdot q_{n}(t)\right)e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }t^{k}\cdot a_{0}p_{k}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t+\int _{0}^{\infty }t^{k+1}\left(a_{1}(t+1)^{k}\cdot q_{1}(t)+a_{2}(t+2)^{k}\cdot q_{2}(t)+a_{3}(t+3)^{k}\cdot q_{3}(t)+\ldots +a_{n}(t+n)^{k}\cdot q_{n}(t)\right)e^{-t}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0}^{\infty }t^{k}\cdot r_{1}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t+\int _{0}^{\infty }t^{k+1}\cdot r_{2}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t\\\end{aligned}}$$

Jelas bahwa $p_{k}(t)$, $q_{i}(t)$, dan $(t+i)^{k}$ merupakan polinomial dalam variabel $t$, sehingga $r_{1}(t)$ dan $r_{2}(t)$ juga merupakan polinomial dalam variabel $t$. Perhatikan bahwa

1. suku dengan pangkat terendah dari $t^{k}\cdot r_{1}(t)$ ialah $\alpha t^{k}$ (untuk suatu bilangan bulat $\alpha$). Akibatnya, ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{k}\cdot r_{1}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t}$ merupakan kelipatan dari $k!$
2. suku dengan pangkat terendah dari $t^{k+1}\cdot r_{2}(t)$ ialah $\beta t^{k+1}$ (untuk suatu bilangan bulat $\beta$). Akibatnya, ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{k+1}\cdot r_{2}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t}$ merupakan kelipatan dari $(k+1)!$

Oleh karena $k!$ habis membagi semua faktorial di atasnya (yaitu $(k+1)!$, $(k+2)!$, dst.), maka $I_{2}$ merupakan kelipatan dari $k!$. Dengan kata lain, terbukti bahwa ${\tfrac {I_{2}}{k!}}$ merupakan bilangan bulat.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa $I_{2}$ bukan merupakan kelipatan dari $k+1$. Untuk sembarang bilangan asli $n$, pilih $k+1$ sebagai sembarang bilangan prima yang lebih dari $n$ dan lebih dari $\left|a_{0}\right|$. Telah dibuktikan sebelumnya bahwa $\textstyle \int _{0}^{\infty }t^{k+1}\cdot r_{2}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t$ merupakan kelipatan dari $(k+1)!$. Akibatnya, $$\int _{0}^{\infty }t^{k+1}\cdot r_{2}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t\equiv 0{\pmod {(k+1)}}$$ sehingga berlaku $${\begin{aligned}I_{2}&\equiv a_{0}\int _{0}^{\infty }t^{k}p_{k}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t+\int _{0}^{\infty }t^{k+1}\cdot r_{2}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\\&\equiv \left(a_{0}\int _{0}^{\infty }t^{k}p_{k}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\right)+\left(\int _{0}^{\infty }t^{k+1}\cdot r_{2}(t)e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\right)\\&\equiv \left(a_{0}\int _{0}^{\infty }t^{k}(t-1)^{k+1}(t-2)^{k+1}(t-3)^{k+1}\cdots (t-n)^{k+1}e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\right)+0\\&\equiv a_{0}\int _{0}^{\infty }t^{k}\left((t-1)(t-2)(t-3)\cdots (t-n)\right)^{k+1}e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\\&\equiv a_{0}\int _{0}^{\infty }\left(\left((-1)^{n}\cdot n!\right)^{k+1}t^{k}+R(t)\right)e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\\&\equiv \left(a_{0}\int _{0}^{\infty }\left((-1)^{n}\cdot n!\right)^{k+1}t^{k}e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\right)+\left(a_{0}\int _{0}^{\infty }R(t)e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\right)\\&\equiv \left(a_{0}\left((-1)^{n}\cdot n!\right)^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}\right)+\left(a_{0}\int _{0}^{\infty }R(t)e^{-t}\,{\text{d}}t{\pmod {(k+1)}}\right)\\&\equiv \left[I_{3}{\pmod {(k+1)}}\right]+\left[I_{4}{\pmod {(k+1)}}\right]\end{aligned}}$$

Perhatikan bahwa

1. semua faktor dari $I_{3}=a_{0}\left((-1)^{n}\cdot n!\right)^{k+1}k!$ merupakan bilangan bulat tak nol yang kurang dari bilangan prima $k+1$. Akibatnya, $I_{3}$ bukanlah kelipatan dari $k+1$.
2. suku dengan derajat terendah dari polinomial $R(t)$ ialah $bt^{k+1}$ (untuk suatu bilangan bulat $b$), sehingga $I_{4}$ merupakan kelipatan dari $(k+1)!$. Dengan kata lain, $I_{4}\equiv 0{\pmod {(k+1)}}$.

Berdasarkan kedua informasi di atas, maka nilai dari $I_{2}$ bukan merupakan kelipatan dari $(k+1)$, sehingga $I_{2}$ jelas tidak mungkin nol.

Dengan memilih nilai $k$ yang memenuhi Lema 2 dan Lema 3, maka bilangan super kecil ${\tfrac {I_{1}}{k!}}$ ditambah dengan bilangan bulat tak nol ${\tfrac {I_{2}}{k!}}$ akan sama dengan nol, dan jelas bahwa hal tersebut tidak mungkin terjadi. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya $e$ merupakan pembuat nol dari suatu polinomial $P$ dengan koefisien bilangan bulat) bernilai salah, sehingga dapat disimpulkan bahwa $e$ bukan bilangan aljabar. Dengan kata lain, terbukti bahwa $e$ transendental.

Bukti bahwa π transendental

Strategi serupa (yang berbeda dari pendekatan orisinal dari Lindemann) dapat digunakaan untuk menunjukkan bahwa bilangan π merupakan bilangan transendental. Selain fungsi gamma dan beberapa estimasi seperti pada bukti untuk $e$, fakta mengenai polinomial simetris memiliki peran penting dalam pembuktiannya.

Untuk informasi lebih lanjut mengenai bukti Ketransendentalan $\pi$ dan $e$, lihat bagian referensi dan pranala luar.

Lihat juga

• Teori bilangan transendental, teori yang mengkaji masalah yang berkaitan dengan bilangan transendental.
• Elemen transendental, perumuman dari bilangan transendental pada aljabar abstrak.
• teorema Gelfond–Schneider
• Penghampiran Diophantus
• Period, himpunan terhitung dari bilangan-bilangan (termasuk semua bilangan aljabar dan beberapa bilangan transendental) yang dapat didefinisikan melalui persamaan integral.
• Konjektur Hartmanis–Stearns, konjektur mengenai kriteria transendental berdasarkan kompleksitas perhitungan dari ekspansi suatu bilangan.

Sistem bilangan Bilangan kompleks ${\displaystyle$ :\;\mathbb {C} } Bilangan real ${\displaystyle$ :\;\mathbb {R} } Bilangan rasional ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Q} } Bilangan bulat ${\displaystyle$ :\;\mathbb {Z} } Bilangan asli ${\displaystyle$ :\;\mathbb {N} } Nol: 0 Satu: 1 Bilangan prima Bilangan komposit Bilangan bulat negatif Pecahan Desimal terhingga Diadik (biner terhingga) Desimal berulang Bilangan irasional Bilangan irasional aljabar Bilangan transendental Bilangan imajiner

Sumber

• Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2005). "On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions". Acta Mathematica (dalam bahasa Inggris). 195 (1): 1–20. arXiv:math/0511677. Bibcode:2005math.....11677A. doi:10.1007/BF02588048. S2CID 15521751.
• Allouche, J.-P. [in Prancis]; Shallit, J. (2003). Automatic Sequences: Theory, applications, generalizations (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015.
• Baker, A. (1990). Transcendental Number Theory (dalam bahasa Inggris) (Edisi paperback). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-20461-3. Zbl 0297.10013.
• Blanchard, André; Mendès France, Michel (1982). "Symétrie et transcendance". Bulletin des Sciences Mathématiques (dalam bahasa Inggris). 106 (3): 325–335. MR 0680277.
• Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 9783540647676 – via Internet Archive.
• Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Vol. 193. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001.
• Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (2004). Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory (dalam bahasa Inggris). Springer. ISBN 978-0-387-21444-3. Zbl 1092.11031.
• Calude, Cristian S. (2002). Information and Randomness: An algorithmic perspective. Texts in Theoretical Computer Science (dalam bahasa Inggris) (Edisi 2nd rev. and ext.). Springer. ISBN 978-3-540-43466-5. Zbl 1055.68058.
• Cantor, G. (1874). "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen". Crelle's Journal (dalam bahasa Jerman). 77: 258–262.
• Cantor, G. (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Crelle's Journal (dalam bahasa Jerman). 84: 242–258.
• Chudnovsky, G.V. (1984). Contributions to the Theory of Transcendental Numbers (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1500-7.
• Davison, J. Les; Shallit, J.O. (1991). "Continued fractions for some alternating series". Monatshefte für Mathematik (dalam bahasa Inggris). 111 (2): 119–126. doi:10.1007/BF01332350. S2CID 120003890.
• Erdős, P.; Dudley, U. (1983). "Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler" (PDF). Mathematics Magazine (dalam bahasa Inggris). 56 (5): 292–298. CiteSeerX 10.1.1.210.6272. doi:10.2307/2690369. JSTOR 2690369.
• Gelfond, A. (1960) [1956]. Transcendental and Algebraic Numbers (dalam bahasa Inggris) (Edisi reprint). Dover.
• Gray, Robert (1994). "Georg Cantor and transcendental numbers". The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 101 (9): 819–832. doi:10.2307/2975129. JSTOR 2975129. Zbl 0827.01004 – via maa.org.
• Hardy, G.H. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (dalam bahasa Inggris) (Edisi 5th). Oxford: Clarendon Press. hlm. 159. ISBN 0-19-853171-0.
• Higgins, Peter M. (2008). Number Story (dalam bahasa Inggris). Copernicus Books. ISBN 978-1-84800-001-8.
• Hilbert, D. (1893). "Über die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$". Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman). 43 (2–3): 216–219. doi:10.1007/BF01443645. S2CID 179177945.
• Kempner, Aubrey J. (1916). "On Transcendental Numbers". Transactions of the American Mathematical Society (dalam bahasa Inggris). 17 (4): 476–482. doi:10.2307/1988833. JSTOR 1988833.
• Lambert, J.H. (1768). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques". Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin (dalam bahasa Prancis): 265–322.
• Leibniz, G.W.; Gerhardt, Karl Immanuel; Pertz, Georg Heinrich (1858). Leibnizens mathematische Schriften (dalam bahasa Jerman). Vol. 5. A. Asher & Co. hlm. 97–98 – via Internet Archive.
• le Lionnais, F. (1979). Les nombres remarquables (dalam bahasa Jerman). Hermann. ISBN 2-7056-1407-9.
• le Veque, W.J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory (dalam bahasa Inggris). Vol. I and II. Dover. ISBN 978-0-486-42539-9 – via Internet Archive.
• Liouville, J. (1851). "Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques" (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (dalam bahasa Prancis). 16: 133–142.
• Loxton, J.H. (1988). "13. Automata and transcendence". Dalam Baker, A. (ed.). New Advances in Transcendence Theory (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. hlm. 215–228. ISBN 978-0-521-33545-4. Zbl 0656.10032.
• Mahler, K. (1929). "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen". Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman). 101: 342–366. doi:10.1007/bf01454845. JFM 55.0115.01. S2CID 120549929.
• Mahler, K. (1937). "Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen". Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A (dalam bahasa Jerman) (40): 421–428.
• Mahler, K. (1976). Lectures on Transcendental Numbers. Lecture Notes in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Vol. 546. Springer. ISBN 978-3-540-07986-6. Zbl 0332.10019.
• Natarajan, Saradha [in Prancis]; Thangadurai, Ravindranathan (2020). Pillars of Transcendental Number Theory (dalam bahasa Inggris). Springer Science+Business Media. ISBN 978-981-15-4154-4.
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, V.; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (ed.). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Vol. 1794. Springer. ISBN 978-3-540-44141-0. Zbl 1014.11015.
• Shallit, J. (15–26 July 1996). "Number theory and formal languages". Dalam Hejhal, D.A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, M.C.; Odlyzko, A.M. (ed.). Emerging Applications of Number Theory. IMA Summer Program. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications (dalam bahasa Inggris). Vol. 109. Minneapolis, MN: Springer (dipublikasikan 1999). hlm. 547–570. ISBN 978-0-387-98824-5.

Pranala luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Transcendental Number". MathWorld.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Liouville Number". MathWorld.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant". MathWorld.
• "Proof that e is transcendental" [Bukti bahwa e transendental]. planetmath.org (dalam bahasa Inggris).
• "Proof that the Liouville constant is transcendental" [Bukti bahwa konstanta Liouville transendental]. deanlmoore.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2018-11-12.
• Fritsch, R. (29 Maret 1988). Transzendenz von e im Leistungskurs? [Ketransendentalan e pada mata kuliah lanjutan?] (PDF). Rahmen der 79. Hauptversammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts [Rapat Umum Tahunan ke-79 Asosiasi Jerman untuk Pengembangan Pendidikan Matematika dan Sains]. Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (dalam bahasa Jerman). Vol. 42. Kiel, DE (dipublikasikan 1989). hlm. 75–80 (presentasi), 375–376 (tanggapan). Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 16-07-2011 – via Universitas Ludwig Maximilian München. — Bukti bahwa $e$ transendental, dalam bahasa Jerman.
• Fritsch, R. (2003). "Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π" (PDF). Дифференциальная геометрия многообразий фигур (dalam bahasa Jerman). 34: 144–148. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 16-07-2011 – via Universitas Ludwig Maximilian München.