Konstanta Gelfond–Schneider

Konstanta Gelfond–Schneider atau bilangan Hilbert^[1] adalah dua yang dipangkatkan dengan akar 2

2^{\sqrt {2}}=2.665\,144\,142\,690\,225\,188\,650\,297\,249\,8731\dots

yang terbukti sebagai Bilangan transendental oleh Rodion Kuzmin pada tahun 1930.^[2] Pada tahun 1934, Aleksandr Gelfond dan Theodor Schneider secara terpisah berhasil membuktikan teorema Gelfond–Schneider yang lebih umum,^[3] yang sekaligus memecahkan bagian dari masalah ketujuh Hilbert.

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Hasil akar kuadrat dari Konstanta Gelfond–Schneider adalah bilangan transendental

{\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1.632\,526\,919\,438\,152\,844\,77\dots

Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2

adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.^[4]^[5] Metode pembuktiannya termasuk tak konstruktif, karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari Rodion Kuzmin.

Masalah ketujuh Hilbert[sunting | sunting sumber]

Bagian ketujuh dari 23 masalah Hilbert yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari contoh tandingan dari, klaim kalau $a^{b}$ selalu transendental, untuk bilangan aljabar $a\neq \left\{0,1\right\}$ dan bilangan irasional aljabar $b$ . Dalam pidatonya, Hilbert memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider $2^{\sqrt {2}}$ .

Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai teori bilangan dan membicarakan tiga konjektur, yaitu hipotesis Riemann, Teorema Terakhir Fermat, dan transendentalnya bilangan $2^{\sqrt {2}}$ . Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.^[6] Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,^[2] tahun dimana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen $b$ merupakan Bilangan riil kuadratik irasional, yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar $b$ oleh Gelfond dan oleh Schneider.

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Konstanta Gelfond

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ Courant, R.; Robbins, H. (1996), What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, hlm. 107
^ ^a ^b R. O. Kuzmin (1930). "On a new class of transcendental numbers" [Kelas baru dari bilangan transendental]. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem. (dalam bahasa Inggris). 7: 585–597.
^ Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.
^ Jarden, D. (1953), "Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational" [Curiosa: Bukti sederhana mengenai perpangkatan bilangan irasional terhadap bilangan irasional mungkin saja rasional], Scripta Mathematica (dalam bahasa Inggris), 19: 229 .
^ Jones, J. P.; Toporowski, S. (1973), "Irrational numbers", American Mathematical Monthly, 80 (4): 423–424, doi:10.2307/2319091, JSTOR 2319091, MR 0314775
^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920.

Bacaan lanjutan[sunting | sunting sumber]

Ribenboim, Paulo (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory [Bilanganku, Temanku: Kuliah Populer Mengenai Teori Bilangan]. Universitext (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001.
Tijdeman, Robert (1976). "On the Gel'fond–Baker method and its applications". Dalam Felix E. Browder. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems [Perkembangan Matematika yang Timbul dari Masalah Hilbert]. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (dalam bahasa Inggris). XXVIII.1. American Mathematical Society. hlm. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026.

[1] Courant, R.; Robbins, H. (1996), What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, hlm. 107

[Kuzmin-2] R. O. Kuzmin (1930). "On a new class of transcendental numbers" [Kelas baru dari bilangan transendental]. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem. (dalam bahasa Inggris). 7: 585–597.

[3] Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.

[4] Jarden, D. (1953), "Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational" [Curiosa: Bukti sederhana mengenai perpangkatan bilangan irasional terhadap bilangan irasional mungkin saja rasional], Scripta Mathematica (dalam bahasa Inggris), 19: 229 .

[5] Jones, J. P.; Toporowski, S. (1973), "Irrational numbers", American Mathematical Monthly, 80 (4): 423–424, doi:10.2307/2319091, JSTOR 2319091, MR 0314775

[6] David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]