Akar ke-n

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Representasi grafis dari fungsi akar kuadrat
Dalam kotak log-log akar ke- menjadi garis lurus.

Dalam matematika, sebuah akar ke-n dari bilangan x adalah bilangan r yang jika dipangkatkan n, menghasilkan x:

dimana n adalah bilangan bulat positif, kadang-kadang disebut derajat dari akar. Akar derajat 2 disebut akar kuadrat dan akar derajat 3, sebuah akar pangkat tiga. Akar tingkat yang lebih tinggi dirujuk dengan menggunakan bilangan urut, seperti pada akar keempat, akar kedua puluh, dll. Perhitungan akar ke-n adalah ekstraksi akar.

Misalnya, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 32 = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3)2 = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki n akar ke-n yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke-n dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif n, setelah 0n = 0. Khususnya, jika n genap dan x adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika n > 2) bilangan kompleks non-real; jika n genap dan x adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-n yang merupakan real. Jika n ganjil dan x real, satu akar n adalah real dan bertanda sama sebagai x, sedangkan akar lainnya (n – 1) bukanlah real. Akhirnya, jika x bukanlah real, maka tidak ada akar ke-n yang merupakan real.

Akar bilangan real biasanya ditulis menggunakan simbol radikal atau radix , dengan menunjukkan akar kuadrat positif dari x jika x adalah positif; untuk akar tinggi, menunjukkan akar ke-n yang sebenarnya jika n adalah ganjil, dan akar ke-n positif jika n adalah genap dan x adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu. Dalam ekspresi , bilangan bulat n disebut indeks dan x disebut radikan .

Ketika kompleks akar ke-n dipertimbangkan, seringkali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n utama dari x sebagai akar ke-n, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk x real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke-n sebagai fungsi real dan positif untuk x real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai x real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-n utama yang bukan asli. Misalnya, memiliki tiga akar pangkat tiga, , dan Akar pangkat tiga sebenarnya adalah dan akar pangkat tiga utama adalah

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd[1] atau "radikal".[2] Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, dimana eksponen adalah pecahan:

Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke-n dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar n adalah radikasi.[3]

Definisi dan notasi[sunting | sunting sumber]

Empat akar ke-4 dari −1,
bukan dari nilai real
Tiga akar ke-3 dari −1,
salah satunya adalah real negatif

Sebuah akar ke-n dari bilangan x, dimana n adalah bilangan bulat positif, salah satu dari n bilangan real atau kompleks r memiliki kuasa n adalah x:

Setiap bilangan riil positif x memiliki akar ke-n positif tunggal, yang disebut akar ke-n utama, yang ditulis sebagai . Untuk n sama dengan 2 ini disebut akar kuadrat utama dan n yang dihilangkan. Akar ke-n juga dapat direpresentasikan menggunakan eksponensial sebagai x1/n.

Untuk nilai genap n, bilangan positif juga memiliki akar ke-n negatif, sedangkan bilangan negatif tidak memiliki akar ke-n real. Untuk nilai ganjil n, setiap bilangan negatif x memiliki akar ke-n negatif real. Misalnya, 2 memiliki akar ke-5 real, tetapi -2 tidak memiliki akar ke-6 real.

Setiap bilangan bukan nol x, real atau kompleks, memiliki n akar ke-n bilangan kompleks yang berbeda. Dalam kasus x real, hitungan ini mencakup akar ke-n real. Satu-satunya akar kompleks dari 0 adalah 0.

Akar ke-n dari hampir semua bilangan (semua bilangan bulat kecuali pangkat ke-n, dan semua rasional kecuali hasil bagi dua pangkat ke-n) adalah irasional. Misalnya,

Semua akar bilangan bulat ke-n adalah bilangan aljabar.

Istilah surd ditelusuri kembali ke al-Khwārizmī (c. 825), yang menyebut bilangan rasional dan irasional sebagai terdengar dan tidak terdengar, masing-masing. Hal ini kemudian menyebabkan kata Arab "أصم" (asamm, yang berarti "tuli" atau "bisu") untuk bilangan irasional diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai "surdus" (artinya "tuli" atau "bisu"). Gerard dari Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), dan kemudian Robert Recorde (1551) semuanya menggunakan istilah tersebut untuk merujuk pada akar irasional tak-terselesaikan, yaitu, ekspresi bentuk dimana dan adalah bilangan bulat dan seluruh ekspresi menunjukkan bilangan irasional.[4] Bilangan irasional kuadrat yaitu bilangan irasional dalam bentuk juga dikenal sebagai "surd kuadrat".

Akar kuadrat[sunting | sunting sumber]

Grafik .

Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan r yang ketika kuadrat sebagai x:

Setiap bilangan real positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan satu negatif. Misalnya, dua akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Akar kuadrat positif juga dikenal sebagai akar kuadrat utama, dan dilambangkan dengan tanda radikal:

Karena kuadrat dari setiap bilangan real adalah nonnegatif, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Namun, untuk setiap bilangan real negatif terdapat dua akar kuadrat imajiner. Misalnya, akar kuadrat dari −25 adalah 5i dan 5i, dimana i menyatakan bilangan yang kuadratnya −1.

Akar pangkat tiga[sunting | sunting sumber]

Grafik .

Sebuah akar pangkat tiga dari bilangan x adalah bilangan r yang kubusnya adalah x:

Setiap bilangan real x memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulis . Misalnya,

dan

Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tiga kompleks tambahan.

Dasar-dasar matematika[sunting | sunting sumber]

Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagai teoretis mengacu pada tubuh yang diatur bilangan real , sehingga sampai batas tertentu pada matematika didatik. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikel adjungsi.[5]

Koneksi dengan potensi[sunting | sunting sumber]

Akar kuadrat dengan eksponen akar dan eksponen dengan eksponen saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan real dan untuk semua bilangan asli :

Akar kuadrat dengan eksponen akar melakukan seperti eksponen dengan eksponen . Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:

Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar n juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:[6]

Akar unik dari bilangan positif[sunting | sunting sumber]

Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar pada dasarnya untuk solusi positif.[7][8] Misalnya, persamaan memiliki dua solusi dan . Namun, istilah memiliki nilai +2 dan yang bukan nilai −2. Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap

Akar bilangan negatif[sunting | sunting sumber]

Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu

dan adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga . Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.

Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:

  • Akar dari bilangan negatif umumnya tidak didefinisikan. Misalnya, tidak didefinisikan. Solusi dari persamaan ditulis sebagai .
  • Akar dari bilangan negatif didefinisikan jika eksponen akar adalah bilangan ganjil (3, 5, 7, ...). Untuk bilangan ganjil adalah
.
Definisi ini tidak sesuai dengan beberapa sifat akar yang digunakan untuk radikan positif. Contohnya adalah
Definisi ini juga tidak melakukan persamaan , karena logaritma (secara alamiah) dari bilangan negatif yang tidak didefinisikan (maka, tetaplah negatif).

Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan real , jadi tidak dapat menemukan akar yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalan bilangan kompleks;[9] namun, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar, lihat dibawah.

Akar irasional dari bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Jika adalah bilangan bulat tidak negatif dan adalah bilangan bulat positif, jadi adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikan faktorisasi prima:

Jika , maka , yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktor dengan urutan bilangan prima yang berbeda dan bilangan bulat positif . Apakah semua untuk habis dibagi , jadi adalah bilangan bulat.

Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satu dengan , sehingga tidak habis dibagi , maka adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalam bukti irasional akar 2 dalam Euklides, yang pada dasarnya adalah kasus khusus dari pembuktian ini.

Misalkan adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan asli dan :

.

Dengan menaikkan persamaan ke kuasa

dan mengikuti

.

Faktorisasi prima muncul pada atau , lebih digunakan daripada atau , setidaknya dalam perkalian yang dibagi dengan , dimana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Pada disesuaikan dengan prasyarat pada perkalian yang tidak habis dibagi . Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagi , tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu, adalah irasional.

Hukum Akar[sunting | sunting sumber]

Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untuk kuasa.

Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positif dan dan :

  • Darab:
  • Pembagian/Hasil bagi:
  • Iterasi:
  • Definisi eksponen pecahan:
  • Definisi eksponen negatif:
  • Dengan radikan yang sama, berikut ini berlaku:

Dengan bilangan negatif dan , hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jika dan adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya, nilai utama) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satu akar satuan.

Barisan[sunting | sunting sumber]

Limit barisan berikut ini berlaku:

  • untuk
Ini mengikuti dari pertidaksamaan , yang ditunjukkan dengan bantuan teorema binomial.
  • , dimana adalah bilangan asli tetap.
  • ,
seperti dilihat dari representasi eksponensial dari .

Fungsi akar[sunting | sunting sumber]

Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk

atau

yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalah fungsi kuasa, yang berlaku .

Identitas dan sifat[sunting | sunting sumber]

Mengekspresikan derajat akar ke-n dalam bentuk eksponen, seperti dalam , mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jika adalah bilangan real non-negatif,

Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar ke-n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatif dan langsung dalam bilangan real:

Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar ke-n dari negatif atau bilangan kompleks. Misalnya:

, namun, lebih tepatnya adalah

Karena kaidah hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.

Bentuk sederhana dari ekspresi radikal[sunting | sunting sumber]

Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalam bentuk sederhana jika[10]

  1. Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
  2. Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
  3. Tidak ada radikal dalam penyebutnya.

Misalnya, untuk menulis ekspresi akar dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:

Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:

Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:

Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi.[11][12] Misalnya menggunakan faktorisasi jumlah dua kubus:

Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan radikal tersarang bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:

Di atas dapat diturunkan melalui:

Misalkan , dengan p dan q berkoprima dan bilangan bulat positif. Maka adalah rasional jika dan hanya jika keduanya dan adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baik p dan q adalah kuasa ke-n dari beberapa bilangan bulat.

Deret tak hingga[sunting | sunting sumber]

Radikal atau akar yang diwakili oleh deret tak hingga:

dengan . Ekspresi ini diturunkan dari deret binomial.

Menghitung akar utama[sunting | sunting sumber]

Menggunakan metode Newton[sunting | sunting sumber]

Akar ke-n dari bilangan A dihitung dengan metode Newton. Mulailah dengan tebakan awal x0 dan kemudian ulangi menggunakan relasi perulangan

until the desired precision is reached. Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkan n = 5, A = 34 dan x0 = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:
x0 = 2
x1 = 2.025
x2 = 2.024397817
x3 = 2.024397458
x4 = 2.024397458
Perkiraan x4 adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.

Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagai pecahan kontinu umum untuk akar ke-n. Misalnya,

Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10)[sunting | sunting sumber]

Segitiga Pascal menunjukkan .

Membangun perhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat, dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana, , atau , mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar ke-n suatu bilangan didefinisikan sebagai nilai elemen pada baris dari Segitiga Pascal sehingga dapat ditulis ulang ekspresi sebagai . ​Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi ini . Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.

Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritma pembagian panjang, dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.

Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:

  1. Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadi nilai saat c.
  2. Temukan p dan x, sebagai berikut:
    • Maka sebagai bagian dari akar yang ditemukan sejauh ini, dengan tidak menggunakan titik desimal apa pun. (Untuk langkah pertama, ).
    • Tentukan bilangan terbesar sehingga .
    • Tempatkan digit sebagai digit berikutnya dari akar, yaitu, bagian atas grup digit yang baru saja Anda turunkan. Jadi p berikutnya akan menjadi p lama dikalikan 10 ditambah x.
  3. Kurangi dari untuk membentuk sisa baru.
  4. Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Temukan akar kuadrat dari 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56
         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34

Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000
      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               Presisi yang diinginkan tercapai:
                               Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12

Perhitungan logaritma[sunting | sunting sumber]

Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakan logaritma. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikan r sebagai akar ke-n, yaitu dengan x positif dan oleh karena itu akar utamanya r juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi (basis logaritma akan dilakukan) untuk mendapatkan

Akar r dengan mengambil antilog:

(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasa b dengan hasil pembagian, bukan b dikalikan dengan hasil pembagian.)

Untuk kasus dimana x negatif dan n ganjil, ada satu akar real r yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |r|, dan menggunakan r = −|r|.

Konstrukbilitas geometris[sunting | sunting sumber]

Matematikawan Yunani kuno tahu bagaimana menggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garis satuan panjang diberikan. Pada tahun 1837 Pierre Wantzel membuktikan bahwa akar ke-n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jika n bukanlah kuasa 2.[13]

Akar kompleks[sunting | sunting sumber]

Setiap bilangan kompleks selain 0 memiliki n akar ke-n yang berbeda.

Akar kuadrat[sunting | sunting sumber]

Akar kuadrat dari i

Dua akar kuadrat dari bilangan kompleks tetap negatif satu sama lain. Misalnya, akar kuadrat dari −4 adalah 2i dan −2i, dan akar kuadrat dari i adalah

Apabila kita menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, maka akar kuadrat memperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari jari-jari dan membagi dua sudut:

Akar utama dari bilangan kompleks dapat dipilih dengan berbagai cara, misalnya

yang memperkenalkan cabang potong pafa medan kompleks sepanjang sumbu real positif dengan kondisi 0 ≤ θ < 2π, atau sepanjang sumbu real negatif dengan π < θ ≤ π.

Dengan menggunakan cabang pertama(terakhir) potong akar kuadrat utama memetakan ke setengah medan dengan bagian imajiner (real) non-negatif. Cabang potong terakhir diandaikan dalam perangkat lunak matematika seperti Matlab atau Scilab.

Akar satuan[sunting | sunting sumber]

Tiga akar ke-3 dari 1

Bilangan 1 memiliki n akar n yang berbeda pada medan kompleks, yaitu

dimana

Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitar lingkaran satuan pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari . Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari satuan adalah 1, , −1, dan .

Akar ke-n[sunting | sunting sumber]

Wakilan geometris dari akar ke-2 hingga ke-6 bilangan kompleks z, dalam bentuk polar re dimana r = |z | dan φ = arg z. If z adalah real, φ = 0 atau π. Akar utama ditampilkan dalam warna hitam.

Setiap bilangan kompleks memiliki n akar ke-n yang berbeda pada medan kompleks. Maka, ini adalah

dimana η adalah akar tunggal ke-n, dan 1, ωω2, ... ωn−1 adalah akar akar satuan ke-n. Misalnya, empat akar keempat yang berbeda dari 2 adalah

Dalam bentuk polar, akar ke-n tunggal dapat ditemukan dengan rumus

Disini r adalah magnitudo (modulus, juga disebut nilai absolut) dari bilangan yang akarnya akan diambil; jika bilangan tersebut dapat ditulis sebagai a+bi maka . Juga, adalah sudut yang dibentuk sebagai salah satu poros pada titik asal berlawanan arah jarum jam dari sumbu horizontal positif ke sinar dari titik asal ke bilangan; yang memiliki sifat , , dan

Dengan demikian, menemukan akar ke-n pada medan kompleks dibagi menjadi dua langkah. Pertama, besar semua akar ke-n adalah akar ke-n dari besaran bilangan asli. Kedua, sudut antara sumbu horizontal positif dan sinar dari titik asal ke salah satu akar ke-n adalah , dimana adalah sudut yang didefinisikan dengan cara yang sama untuk bilangan akar yang akan diambil. Selanjutnya, semua n dari akar ke-n berada pada sudut yang sama jarak satu sama lain.

Jika n adalah genap, akar ke-n adalah bilangan kompleks, dimana terdapat bilangan genap, datanglah berpasangan aditif invers, sehingga jika suatu bilangan r1 adalah salah satu akar ke-n maka r2 = –r1 adalah lainnya. Ini karena menaikkan koefisien yang terakhir -1 ke kuasa ke-n untuk genap n menghasilkan 1: yaitu, (–r1)n = (–1)n × r1n = r1n.

Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikan fungsi kontinu untuk seluruh medan kompleks, tetapi memiliki cabang potong pada titik dimana θ / n adalah takkontinu.

Menyelesaikan polinomial[sunting | sunting sumber]

Salah satu konjektur bahwa semua persamaan polinomial sebagai penyelesaian aljabar (yaitu, bahwa semua akar dari polinomial dinyatakan dalam jumlah hingga radikal dan operasi dasar). Namun, sementara ini berlaku untuk polinomial derajat ketiga (kubik) dan polinomial derajat keempat (kuartik), Teorema Abel–Ruffini (1824) menunjukkan bahwa ini tidak benar secara umum ketika derajatnya 5 atau lebih besar. Misalnya, solusi persamaan

tidak dinyatakan dalam bentuk radikal. (cf. persamaan kuintik)

Bukti irasionalitas untuk kuasa ke-n taksempurna x[sunting | sunting sumber]

Asumsikan bahwa adalah rasional. Artinya, mereduksi menjadi pecahan , dimana a dan b adalah bilangan bulat tanpa faktor persekutuan.

Ini berarti bahwa .

Karena x adalah bilangan bulat, dan harus memiliki faktor persekutuan jika . Ini berarti jika , tidak dalam bentuk sederhana. Jadi b harus sama dengan 1.

Karena dan , .

Ini berarti dan dengan demikian, . Maka, ini menyatakan bahwa adalah bilangan bulat. Karena x bukanlah kuasa ke-n sempurna, kemungkinan tidak. Jadi adalah irasional.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Bansal, R.K. (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. hlm. 25. ISBN 978-81-318-0013-3. 
  2. ^ Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometryPerlu mendaftar (gratis). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2. 
  3. ^ "Arti Radikasi". www.lektur.id.com. 
  4. ^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Mathematics Pages by Jeff Miller. Diakses tanggal 2008-11-30. 
  5. ^ Untuk kesulitan dengan keunikan hukum lihat akar bilangan kompleks.
  6. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Mathematik_2008/1
  7. ^ DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  8. ^ EN ISO 80000-2:2020 Größen und Einheiten – Bagian 2: Mathematik
  9. ^ T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 122.
  10. ^ McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. hlm. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
  11. ^ B.F. Caviness, R.J. Fateman, "Simplification of Radical Expressions", Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, hal. 329.
  12. ^ Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", Journal of Symbolic Computation 1:189–210 (1985) DOI:10.1016/S0747-7171(85)80014-6.
  13. ^ Wantzel, M. L. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1 (2): 366–372 .

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Templat:Hiperorperasi