Elips

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Elips dan sifat-sifat matematisnya
Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips
Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.
Elips: notasi
Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat

Dalam matematika, sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beaturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Definisi sebagai lokus poin[sunting | sunting sumber]

Elips: definisi dengan jumlah jarak ke fokus
Elips: definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkar

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:

Diberi dua poin tetap disebut fokus dan jarak yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak adalah sama dengan :

Titik tengah dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada titik- titik simpul , yang memiliki jarak ke pusat. Jarak dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi adalah eksentrisitas .

Kasus dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):

Jika adalah lingkaran dengan titik tengah , maka jarak suatu titik ke lingkaran sama dengan jarak ke fokus :

disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus ) of the ellipse.[1][2] Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Sistem Koordinat Kartesius[sunting | sunting sumber]

Persamaan standar[sunting | sunting sumber]

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya

,

simpulnya adalah .

Untuk titik arbitrer jarak ke fokus adalah dan ke fokus lainnya . Karena itu intinya is on the ellipse whenever:

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan menghasilkan persamaan standar elips:

atau, memecahkan y:

Keliling lebar dan tinggi disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

Keliling[sunting | sunting sumber]

Sumbu semi mayor dan semi minor[sunting | sunting sumber]

Sepanjang artikel ini Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu Secara umum persamaan elips kanonik mungkin (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi . Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

Eksentritas linear[sunting | sunting sumber]

Ini adalah jarak dari pusat ke fokus: .

Keanehan[sunting | sunting sumber]

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

,

Rektum semi-lektur[sunting | sunting sumber]

Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus Perhitungan menunjukkan:

[3]

Garis singgung[sunting | sunting sumber]

Garis arbitrer memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik dari elips memiliki persamaan koordinat:

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

with

Bukti: Biarkan be a point on an ellipse and menjadi persamaan garis apa pun mengandung . Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati yields:

Elips bergeser[sunting | sunting sumber]

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat , persamaannya adalah

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elips[sunting | sunting sumber]

Luas elips adalah

Keliling elips[sunting | sunting sumber]

Keliling elips adalah

Keliling I
Keliling II (model Ramanujan)

dan

di mana
Keliling III (model integral)

dan

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, hlm. 251, ISBN 978-0-88385-354-2 
  2. ^ Istilah Jerman untuk lingkaran ini adalah Leitkreis yang dapat diterjemahkan sebagai "Lingkaran Direktur", tetapi istilah itu memiliki arti yang berbeda dalam literatur bahasa Inggris (lihat Director circle).
  3. ^ (Protter & Morrey 1970, hlm. 304,APP-28)

Pranala luar[sunting | sunting sumber]