Irisan kerucut

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan Hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

Geometri[sunting | sunting sumber]

Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya

Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jenis-jenis irisan kerucut[sunting | sunting sumber]

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

Kasus degenerasi[sunting | sunting sumber]

Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

Geometri analitis[sunting | sunting sumber]

Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

Eksentrisitas adalah rasio antara FM dan M'M. Elips (e=1/2), parabola (e=1) dan hiperbola (e=2) dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.

Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.

Koordinat Kartesius[sunting | sunting sumber]

Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

maka:

  • Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
  • Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
  • Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
  • Jika a = b dan h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
  • Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

Bentuk persamaan umum[sunting | sunting sumber]

Bentuk persamaan umum sebagai berikut:

] kesimpulan:

  • Jika A = B = 0 maka persamaan adalah garis lurus/linear
  • Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah parabola/kuadrat
  • Jika A = B maka persamaan adalah lingkaran
  • Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah elips
  • Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah hiperbola

Sekilas irisan kerucut[sunting | sunting sumber]

Lingkaran
Titik pusat (0,0):
Titik pusat (h,k): atau

dengan maka

Parabola
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Sumbu simetri sumbu y sumbu x
Fokus
Direktris
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Sumbu simetri
Fokus
Direktris
Elips
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Direktris
Eksentrisitas
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Direktris
Eksentrisitas

dimana

Hiperbola
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Asimtot
Eksentrisitas
Titik pusat (h,k)
Persamaan
Panjang sumbu mayor
Panjang sumbu minor
Panjang Latus Rectum
Fokus
Puncak
Asimtot
Eksentrisitas

dimana

Persamaan garis singgung[sunting | sunting sumber]

bergradien ()
Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Lingkaran
Parabala
Elips
Hiperbola
Titik pusat (h,k)
Lingkaran
Parabala
Elips
Hiperbola
jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka
jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka
melalui titik

dengan cara bagi adil

Vertikal Horisontal
Titik pusat (0,0)
Lingkaran
Parabola
Elips
Hiperbola
Titik pusat (h,k)
Lingkaran atau
Parabola
Elips
Hiperbola
jika titik berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
jika titik berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah).

Contoh:

Titik pusat (0,0)
  • Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap !

jawab:

  • Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap !

jawab:

(dalam)

dengan cara bagi adil

(dibagi 8)
  • Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap !

jawab:

(luar)

dengan cara bagi adil

masukkan lah

(dibagi 16/25)

maka kita mencari nilai x

atau

maka kita mencari nilai y

untuk

jadi

untuk

jadi

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama
untuk persamaan singgung kedua
Titik pusat (h,k)
  • Tentukan persamaan garis singgung melalui persamaan yang tegak lurus !

jawab: ubah ke bentuk sederhana

cari gradien persamaan

gradien () = 2 karena tegak lurus menjadi

cari

  • Tentukan persamaan garis singgung yang berordinat 6!

jawab: ubah ke bentuk sederhana

cari absis dimana ordinat 6

dengan cara bagi adil

  • Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap !

ubah ke bentuk sederhana

(luar)

dengan cara bagi adil

masukkan lah

(dibagi 8/9)

maka kita mencari nilai x

atau

maka kita mencari nilai y

untuk

jadi

untuk

jadi

kembali dengan cara bagi adil

untuk persamaan singgung pertama
(dibagi 4)
untuk persamaan singgung kedua
(dibagi 2)

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Leithold, Louis (1981). "13". The Calculus with Analytic Geometry. New York: Harper & Row, Publisher, Inc. p. 657. ISBN 0-06-043935-1.