Kurva

Kurva parabola merupakan salah satu kurva yang paling sederhana.

Dalam matematika, kurva adalah objek yang mirip dengan garis yang tidak harus lurus. Dalam beberapa teks kuno, kurva juga disebut garis lengkung.

Secara intuitif, kurva dapat dipandang sebagai jejak yang ditinggalkan oleh titik bergerak. Pandangan tersebut merupakan definisi yang muncul lebih dari 2000 tahun yang lalu dalam karya Euklides, Elements: "Garis [melengkung] adalah [...] spesies kuantitas pertama yang hanya memiliki satu dimensi, yaitu panjang, tanpa adanya lebar atau kedalaman. Garis ini tidak lain merupakan aliran atau lintasan titik yang [...] akan ditinggalkan dari khayalannya yang kemudian memindahkan bekas-bekasnya di panjang, tetapi lebar dikecualikan."

Definisi kurva ini telah diformalkan dalam matematika modern, yang berbunyi bahwa suatu kurva merupakan bayangan fungsi dari suatu interval ke ruang topologi yang didasari pada fungsi kontinu. Dalam beberapa konteks, fungsi yang mendefinisikan kurva disebut parametrisasi (parametrization), dan kurva itu adalah kurva parametrik. Dalam artikel ini, kurva ini kadang-kadang disebut kurva topologi; istilah tersebut dipakai untuk membedakan kurva yang lebih terbatas, seperti kurva terdiferensialkan (differentiable curve). Definisi ini mencakup sebagian besar kurva yang dipelajari dalam matematika, kecuali kurva level (yang merupakan gabungan dari kurva dan titik yang terisolasi), dan kurva aljabar. Kurva level dan kurva aljabar kadang-kadang disebut kurva implisit, karena kedua kurva tersebut biasanya didefinisikan oleh persamaan implisit.

Walaupun demikian, kelas kurva topologi sangatlah luas. Kelas tersebut memiliki beberapa kurva yang tidak tampak seperti kurva, atau bahkan tidak dapat digambarkan. Kasus tersebut dapat ditemukan seperti kurva pengisi ruang (space-filing curve) dan kurva fraktal. Supaya memastikannya, fungsi yang mendefinisikan suatu kurva sering kali dianggap terdiferensialkan, dan kurva tersebut kemudian dikatakan kurva terdiferensialkan.

Sejarah

Seni megalitik dari Newgrange menunjukkan minat awal pada kurva

Ketertarikan pada kurva dimulai jauh sebelum menjadikannya sebagai kajian matematika. Hal tersebut dapat ditunjukkan dalam banyak contoh kegunaan dekoratifnya dalam seni, serta pada benda sehari-hari yang dibuat sejak zaman prasejarah. Kurva, atau setidaknya representasi grafisnya, sangat mudah digambarkan, misalnya dengan menggunakan tongkat di pasir pantai.

Menurut sejarah, istilah garis digunakan sebagai pengganti istilah kurva yang lebih modern. Oleh karena itu, istilah garis lurus dan garis siku-siku digunakan untuk membedakan istilah yang saat ini dikenal dengan sebutan garis dari garis lengkung. Sebagai contoh, definisi kedua dalam karya Euklides, Elements mengatakan bahwa suatu garis didefinisikan sebagai "panjang tanpa mempunyai lebar". Sementara itu, definisi keempat dalam karya yang sama mengatakan bahwa garis lurus didefinisikan sebagai "garis yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". Gagasan Euklides tentang garis kemungkinan dijelaskan lebih lanjut dalam pernyataan definisi ketiga, "ekstremitas dari suatu garis adalah titik."

Kurva topologi

Suatu kurva topologi dapat dinyatakan dengan suatu fungsi kontinu $\gamma \colon I\rightarrow X$ yang memetakan dari interval I dari bilangan real ke ruang topologi X. Kurva merupakan bayangan dari $\gamma$. Akan tetapi, $\gamma$ tersendiri dalam beberapa konteks merupakan suatu kurva, terlebih ketika bayangan tidak tampak terlihat seperti kurva dan tidak sepenuhnya menggambarkan $\gamma .$ Sebagai contoh, bayangan dari kurva Peano, atau lebih umumnya kurva pengisi ruang (space-filling curve) yang mengisi sebuah persegi sepenuhnya, tetapi tidak memberikan penjelasan bagaimana $\gamma$ didefinisikan.

Suatu kurva $\gamma$ tertutup atau loop apabila $I=[a,b]$ dan $\gamma (a)=\gamma (b)$. Dengan demikian, suatu kurva tertutup merupakan bayangan dari suatu pemetaan kontinu lingkaran. Jika daerah asal dari kurva topologi adalah tertutup dan interval $I=[a,b]$ adalah terbatas, kurva dapat dikatakan suatu lintasan (path) atau disebut juga busur (arc).

Suatu kurva tertutup sederhana di bidang disebut kurva Jordan. Kurva Jordan juga didefinisikan sebagai loop kontinu yang tidak saling berpotongan di bidang. Teorema kurva Jordan mengatakan bahwa komplemen di suatu bidang kurva Jordan terdiri dari dua buah ruang komponen terhubung, dalam artian kurva tersebut membagi bidang menjadi dua daerah yang tidak saling berpotongan dan saling terhubung.

Kurva terdiferensialkan

Dalam bahasa kasarnya, kurva terdiferensialkan (differentiable curve) adalah kurva yang didefinisikan sebagai bayangan fungsi yang terdiferensialkan secara lokal $\gamma \colon I\rightarrow X$ yang dipetakan dari suatu interval $I$ dari bilangan real ke manifold terdiferensialkan X. Ini sering kali dinyatakan $\mathbb {R} ^{n}.$

Panjang kurva

Jika $X=\mathbb {R} ^{n}$ adalah ruang Euklides berdimensi-$n$, dan jika $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ adalah fungsi injektif dan terdiferensialkan secara kontinu, maka panjang dari $\gamma$ didefinisikan sebagai

$$\operatorname {panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~{dt}.$$

Panjang kurva tidak bergantung pada parameterisasi $\gamma$. Secara khusus, panjang $s$ dari grafik fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval tertutup $[a,b]$ dirumuskan sebagai

$$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~{dx}.$$

Lebih umum, jika $X$ adalah ruang metrik dengan metrik $d$, maka panjang kurva $\gamma :[a,b]\to X$ dapat didefinisikan dengan

$$\operatorname {panjang} (\gamma )~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{dan}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right).$$

Pada definisi di atas, supremum mengambil alih semua $n$ suatu bilangan asli dan semua partisi $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ dari $[a,b]$.

Kurva berpanjang (rectifiable curve) adalah kurva dengan panjangnya yang terbatas. Kurva $\gamma :[a,b]\to X$ disebut natural (atau satuan kecepatan parametrisasi berdasarkan panjang busur) jika ada $t_{1}$ dan $t_{2}$ di $[a,b]$ sehingga $t_{1}\leq t_{2}$. Oleh karena itu, dipunyailah

$$\operatorname {panjang} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.$$

Jika $\gamma :[a,b]\to X$ adalah fungsi kontinu Lipschitz, maka fungsi tersebut secara langsung rectifiable (berkepanjangan). Selain itu, kecepatan (atau turunan metrik) dari $\gamma$ pada $t\in [a,b]$ dapat ditentukan sebagai

$${\operatorname {kecepatan} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}$$

dan kemudian diperlihatkan bahwa

$$\operatorname {panjang} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {kecepatan} _{\gamma }}(t)~{dt}.$$

Geometri diferensial

Contoh kurva pertama yang dijumpai sebagian besar merupakan kurva bidang (atau dalam sebutan umumnya, garis lengkung dalam ruang dua dimensi). Walaupun demikian, terdapat kurva dalam tiga dimensi, dan contoh kurva tersebut adalah heliks. Keperluan geometri dan juga contohnya mekanika klasik, harus memiliki gagasan tentang kurva dalam ruang dari sejumlah dimensi. Dalam relativitas umum, garis dunia adalah kurva dalam ruang waktu.

Jika $X$ adalah manifold terdiferensialkan, maka dapat didefinisikan gagasan kurva terdiferensialkan dalam $X$. Gagasan umum ini cukup untuk mencakup banyak penerapannya dalam matematika. Berdasarkan sudut pandang lokal, seseorang dapat memandang $X$ sebagai ruang Euklides. Di sisi lain, seseorang dapat memungkinkan untuk mendefinisikan vektor garis singgung ke $X$ dengan melalui pengertian kurva tersebut.

Terdapat gagasan dasar yang mengatakan bahwa jika $X$ adalah manifold mulus, kurva mulus di $X$ adalah pemetaan mulus

$$\gamma \colon I\rightarrow X.$$

Ada pula gagasan yang mengatakan bahwa jika $X$ adalah $C^{k}$ manifold (sebagai contoh, manifold yang chartnya terdiferensialkan secara kontinu sebanyak $k$ kali), maka suatu $C^{k}$ kurva dalam $X$ adalah kurva yang hanya diasumsikan menjadi $C^{k}$ (dalam artian, terdiferensialkan secara kontinu sebanyak $k$ kali). Jika $X$ adalah manifold analitik (yaitu, terdiferensiaslkan tak terhingga dan chart dapat dinyatakan sebagai deret kuasa) dan $\gamma$ adalah peta analitik, maka $\gamma$ dikatakan sebagai kurva analitik (analytic curve).

Suatu kurva terdiferensialkan dikatakan beraturan (regular) jika turunannya tidak pernah hilang; dengan kata lain, suatu kurva beraturan tidak pernah melambat untuk berhenti atau mundur dengan sendirinya. Terdapat dua $C^{k}$ kurva terdiferensialkan , yaitu $\gamma _{1}\colon I\rightarrow X$ dan $\gamma _{2}\colon J\rightarrow X$ dikatakan ekuivalen jika terdapat $C^{k}$ pemetaan bijektif $p\colon J\rightarrow I$ sehingga pemetaan invers $p^{-1}\colon I\rightarrow J$ juga $C^{k}$, dan $\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))$ untuk semua $t$. Pemetaan $\gamma _{2}$ disebut reparametrisasi (reparametrization) dari $\gamma _{1}$, sehingga demikian himpunan semua $C^{k}$ kurva terdiferensiasi dalam $X$ dikatakan relasi ekuivalensi. Suatu busur $C^{k}$ adalah kelas ekuivalensi dari $C^{k}$ kurva di bawah relasi reparametrisasi.

Pranala luar

• Famous Curves Index, Sekolah Matematika dan Statistik, Universitas St Andrews, Skotlandia.
• Mathematical curves Kumpulan 874 kurva matematika dua dimensi.
• Galeri Kurva Luar Angkasa yang Dibuat dari Lingkaran, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Galeri Kurva Uskup dan Kurva Bulat Lainnya, termasuk animasi oleh Peter Moses
• Artikel Ensiklopedia Matematika dalam garis.
• Halaman Manifold Atlas pada 1-manifold.