Fungsi phi Euler

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Seribu nilai pertama φ(n). Titik di garis atas adalah φ(p) bila p adalah bilangan prima, yaitu p − 1.[1]

Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler (bahasa Inggris: Euler's totient function) adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat yang prima nisbi dengan . Ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai atau menyatakan kardinal himpunan bilangan asli dimana .

Ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia).

Contoh[sunting | sunting sumber]

Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.

Identitas[sunting | sunting sumber]

Terdapat beberapa identitas mengenai fungsi Euler phi, diantaranya:

  • ,
  • , untuk adalah bilangan prima
  • jika

Rumus lainnya[sunting | sunting sumber]

Apabila rumus lain mengenai fungsi Euler phi, diantaranya

  • , untuk setiap
Perhatikan kasus khusus
  • Bandingkan dengan rumus
(Lihat kelipatan persekutuan terkecil.)
  • φ(n) genap untuk n ≥ 3. Selain itu, jika n memiliki r faktor prima ganjil yang berbeda, 2r | φ(n)
  • Untuk a > 1 dan n > 6 sehingga 4 ∤ n terdapat l ≥ 2n sedemikian sehingga l | φ(an − 1).
di mana adalah radikal dari .
  •  [2]
  • , untuk
  •  ([3] dikutip dalam[4])
  •  [3]
  •  [5]
  •  [5]
(dengan adalah konstanta Euler–Mascheroni).
dimana adalah bilangan bulat positif dan adalah jumlah faktor prima yang berbeda dari .[6]

Beberapa bilangan[sunting | sunting sumber]

100 nilai pertama (barisan A000010 pada OEIS) ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:

Grafik dari 100 nilai pertama
untuk
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4
10 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8
20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8
30 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16
40 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20
50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16
60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24
70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32
80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24
90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40

Dalam grafik di kanan atas baris adalah batas atas valid untuk semua selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah , yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan .[7]

Fungsi pembangkit[sunting | sunting sumber]

Deret Dirichlet untuk dapat ditulis dalam istilah fungsi zeta Riemann sebagai:[8]

Fungsi pembangkit deret Lambert adalah[9]

konvergen untuk .

Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk .

Rasio bilangan berurutan[sunting | sunting sumber]

Pada tahun 1950 Somayajulu membuktikan[10][11]

dan

Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan[10][11] bahwa himpunan

adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya[10] bahwa himpunan

padat dalam interval .

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26. 
  2. ^ Dineva (dalam referensi eksternal), prop. 1
  3. ^ a b Walfisz, Arnold (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Mathematische Forschungsberichte (dalam bahasa Jerman). 16. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Zbl 0146.06003. 
  4. ^ Lomadse, G., "The scientific work of Arnold Walfisz" (PDF), Acta Arithmetica, 10 (3): 227–237 
  5. ^ a b Sitaramachandrarao, R. (1985). "On an error term of Landau II". Rocky Mountain J. Math. 15: 579–588. 
  6. ^ Bordellès di pranala luar
  7. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama hw328
  8. ^ Hardy & Wright 1979, thm. 288
  9. ^ Hardy & Wright 1979, thm. 309
  10. ^ a b c Ribenboim, p.38
  11. ^ a b Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16

Referensi[sunting | sunting sumber]

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalah Gauss tentang teori bilangan: semua bukti timbal balik kuadrat, penentuan tanda jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik biquadratic, dan catatan yang tidak diterbitkan.

Referensi ke Disquisitiones adalah dari bentuk Gauss, DA, art. nnn.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]