Logaritma biner

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jump to navigation Jump to search
Kurva log2 n

Logaritma biner (bahasa Inggris: binary logarithm) dalam matematika adalah , adalah logaritma dengan basis 2, yang biasanya dilambangkan dengan log2 n atau 2log n. Merupakan fungsi invers dari fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua. Logaritme biner n adalah kepangkatan bilangan dua untuk mendapatkan nilai  n. Jadi:

Misalnya:

  • logaritme biner 1 adalah 0
  • logaritme biner 2 adalah 1
  • logaritme biner 4 adalah 2
  • logaritme biner 8 adalah 3
  • logaritme biner 16 adalah 4
  • logaritme biner 32 adalah  5

dan seterusnyaq

Logaritma biner terkait erat dengan "Sistem bilangan biner". Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritme biner adalah dalam teori musik, oleh Leonhard Euler. Bidang lain yang sering menggunakan logaritme biner termasuk teori informasi, combinatorics, computer science, bioinformatika, desain turnamen olahraga, dan fotografi.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Leonhard Euler adalah orang pertama yang menerapkan logaritme biner pada teori musik, pada tahun 1739.

Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh Michael Stifel pada tahun 1544 dan dapat ditafsirkan (dengan membalikkan baris-barisnya) sebagai tabel logaritme biner.[1][2] Aplikasi logaritme biner pada teori musik dilakukan oleh Leonhard Euler pada tahun 1739, jauh sebelum teori informasi dan sains komputer menjadi bidang studi. Sebagai bagian karyanya dalam bidang ini, Euler menyertakan suatu tabel logaritme biner bagi integer dari 1 sampai 8, sampai dengan tujuh desimal untuk keakuratannya.[3][4]

Notasi[sunting | sunting sumber]

Dalam matematika, logaritme biner suatu bilangan n ditulis sebagai log2 n atau 2log n. Namun, sejumlah notasi lain fungsi ini telah diusulkan dan digunakan dalam berbagai bidang.

Sejumlah pengarang menuliskan logaritme biner sebagai lg n.[5][6] Donald Knuth mengungkapkan bahwa notasi ini didapatnya dari usulan Edward Reingold,[7] tetapi penggunaannya dalam teori informasi maupun sains komputer tampaknya sudah ada sebelum Reingold aktif.[8][9] Logaritme biner juga pernah ditulis sebagai log n, dengan catatan bahwa basis default logaritma adalah bilangan 2 (bukan 10 sebagaimana lazimnya).[10][11][12]

Teori musik[sunting | sunting sumber]

Dalam teori musik, interval atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua frekuensinya. Interval yang datang dari rasio bilangan rasional dengan numerator dan denominator kecil diterima sebagai sangat euphonius. Interval yang paling sederhana dan paling penting adalah oktaf, suatu rasio frekuensi 2:1. Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.[13]

Untuk mempelajari tuning system dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu [[logaritma) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi). Jadi, jika nada-nada x, y, dan z membentuk urutan nada-nada yang menaik, maka ukuran interval dari x ke y ditambah ukuran interval dari y ke z seharusnya sama dengan ukuran interval dari x ke z. Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan cent, yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 semitone yang masing-masing terdiri dari 100 cent). Secara matematis, nada-nada dengan frekuensi f1 dan f2, mempunyai jumlah cent dalam interval dari x ke y sebesar[13]

Istilah milioktaf didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi dengan suatu multiplier 1000 bukannya 1200.

Fotografi[sunting | sunting sumber]

Dalam fotografi, nilai eksposure diukur menggunakan logaritma biner jumlah cahaya yang mencapai film atau sensor, sejalan dengan Weber–Fechner law yang menyatakan respons logaritmik sistem penglihatan manusia terhadap cahaya. Satu stop exposure adalah satu unit dalam skala logaritma basis-2.[14][15] Lebih tepatnya, nilai exposure suatu foto didefinisikan sebagai:

di mana adalah f-number yang mengukur aperture lensa selama exposure, dan adalah jumlah detik lamanya exposure.

Kalkulasi[sunting | sunting sumber]

Konversi dari basis-basis lain[sunting | sunting sumber]

Suatu cara mudah untuk menghitung 2log (n) pada kalkulator yang tidak mempunyai fungsi log2 adalah menggunakan fungsi logaritma natural (ln) atau logaritma umum (log), yang biasanya ada pada kebanyakan scientific calculator. Rumus perubahan basis logaritma adalah:[15][16]

or approximately

Dukungan perpustakaan software[sunting | sunting sumber]

Fungsi log2 dimasukkan ke dalam fungsi matematika C standar. Versi default fungsi ini mengambil argumen double precision tetapi varian-variannya mengizinkan argumen dalam bentuk single-precision atau sebagai long double.[17]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Groza, Vivian Shaw; Shelley, Susanne M. (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, hlm. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 .
  2. ^ Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (dalam bahasa Latin), hlm. 31 . A copy of the same table with two more entries appears on p. 237, and another copy extended to negative powers appears on p. 249b.
  3. ^ Euler, Leonhard (1739), "Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus", Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (dalam bahasa Latin), Saint Petersburg Academy, hlm. 102–112 .
  4. ^ Tegg, Thomas (1829), "Binary logarithms", London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4, hlm. 142–143 .
  5. ^ Templat:Introduction to Algorithms
  6. ^ Sedgewick, Robert; Wayne, Kevin Daniel (2011), Algorithms, Addison-Wesley Professional, hlm. 185, ISBN 9780321573513 .
  7. ^ Knuth, Donald E. (1997), The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (edisi ke-3rd), Addison-Wesley Professional, ISBN 9780321635747 , p. 11. The same notation was in the 1973 2nd edition of the same book (p. 23) but without the credit to Reingold.
  8. ^ Trucco, Ernesto (1956), "A note on the information content of graphs", Bull. Math. Biophys., 18: 129–135, doi:10.1007/BF02477836, MR 0077919 .
  9. ^ Mitchell, John N. (1962), "Computer multiplication and division using binary logarithms", IRE Transactions on Electronic Computers, EC-11 (4): 512–517, doi:10.1109/TEC.1962.5219391 .
  10. ^ Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013), Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, hlm. 152, ISBN 9781118623336, In the following, and unless otherwise stated, the notation log x always stands for the logarithm to the base 2 of x .
  11. ^ Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2012), Elements of Information Theory (edisi ke-2nd), John Wiley & Sons, hlm. 33, ISBN 9781118585771, Unless otherwise specified, we will take all logarithms to base 2 .
  12. ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, John Wiley & Sons, hlm. 23, One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base b of the logarithm when b = 2. 
  13. ^ a b Campbell, Murray; Greated, Clive (1994), The Musician's Guide to Acoustics, Oxford University Press, hlm. 78, ISBN 9780191591679 .
  14. ^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, hlm. 228, ISBN 9780240520377 .
  15. ^ a b Davis, Phil (1998), Beyond the Zone System, CRC Press, hlm. 17, ISBN 9781136092947 .
  16. ^ Bauer, Craig P. (2013), Secret History: The Story of Cryptology, CRC Press, hlm. 332, ISBN 9781466561861 .
  17. ^ "7.12.6.10 The log2 functions", ISO/IEC 9899:1999 specification (PDF), hlm. 226 .

Pranala luar[sunting | sunting sumber]