Fungsi Lambert W

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas


Grafik y = W(x) nyata x < 6 dan y > −4. Cabang atas (biru) dengan y ≥ −1 adalah grafik fungsi W0 (principal branch), cabang bawah (magenta) dengan y ≤ −1 adalah grafik fungsi W−1. Nilai minimum x adalah pada {−1/e,−1}

Dalam matematika, Fungsi Lambert W, juga disebut fungsi omega atau logaritma produk, adalah multinilai fungsi, yaitu cabang dari hubungan terbalik fungsi f(w) = wew, dengan w adalah salah satu bilangan kompleks dan ew adalah fungsi eksponensial.

Untuk setiap bilangan bulat k ada satu cabang, dilambangkan dengan Wk(z), yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks. W0 dikenal sebagai cabang utama. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika z dan w adalah bilangan kompleks, maka

memegang jika dan hanya jika

Saat berhadapan dengan bilangan real saja, kedua cabang tersebut W0 dan W−1 cukup: untuk bilangan real x dan y persamaan

bisa diselesaikan untuk y hanya jika x ≥ −1e; kita mendapatkan y = W0(x) jika x ≥ 0 dan dua nilai y = W0(x) dan y = W−1(x) jika 1ex < 0.

Relasi Lambert W tidak bisa diekspresikan dalam istilah fungsi dasar.[1] Ini berguna dalam kombinatorik, misalnya, dalam pencacahan pohon. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari Planck, Bose–Einstein, dan Distribusi Fermi-Dirac) dan juga terjadi dalam larutan penundaan diferensial, seperti y′(t) = a y(t − 1). Dalam biokimia, dan khususnya kinetika enzim, solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari kinetika Michaelis–Menten dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert W.

Cabang utama dari fungsi Lambert W di bidang kompleks. Perhatikan potongan cabang di sepanjang sumbu nyata negatif, berakhir pada 1e. Dalam gambar ini, rona suatu titik z ditentukan oleh argumen dari W(z), dan kecerahan dengan nilai absolut dari W(z).
Modulus dari cabang utama fungsi Lambert W, diwarnai sesuai dengan arg W(z)

Istilah[sunting | sunting sumber]

Fungsi Lambert W dinamai Johann Heinrich Lambert. Cabang utama W0 dilambangkan dengan Wp di Perpustakaan Digital Fungsi Matematika, dan cabangnya W−1 dilambangkan dengan Wm di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan W0 dan W−1) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert W oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan Knuth.[2]

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena fungsi invers dari f(w) = ew disebut logaritma, masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari produk wew sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan Konstanta Omega, yang sama dengan W0(1).

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Lambert pertama kali mempertimbangkan Persamaan Transendental Lambert terkait pada 1758,[3] yang mengarah ke artikel oleh Leonhard Euler pada tahun 1783[4] yang membahas kasus khusus wew.

Fungsi yang dianggap Lambert adalah

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya a = b. Mengambil batasan dia menurunkan persamaan

Dia kemudian meletakkan a = 1 dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan x dalam suku-suku c .

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan x dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert W memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik model fungsi delta sumur Dirac untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer Maple melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.[2][5]

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di kinetika Michael–Menten.

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert W tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.[6]

Sifat dasar, cabang dan jangkauan[sunting | sunting sumber]

Berkas:Lambert W Range.pdf
Rentang fungsi W, menampilkan semua cabang. Kurva hitam (termasuk sumbu nyata) membentuk bayangan sumbu nyata, kurva oranye adalah bayangan sumbu imajiner. Kurva ungu adalah gambar lingkaran kecil di sekitar titik z = 0; kurva merah adalah gambar lingkaran kecil di sekitar titik z = −1e.
Plot bagian imajiner dari W [n, x + i y] untuk cabang n=-2,-1,0,1,2. Plotnya mirip dengan fungsi multinilai logaritma kompleks kecuali jarak antar sheet tidak konstan dan sambungan sheet utama berbeda

Ada banyak sekali cabang dari fungsi W, dilambangkan dengan Wk(z), untuk bilangan bulat k; W0(z) menjadi cabang utama (atau kepala sekolah). W0(z) didefinisikan untuk semua bilangan kompleks z sementara Wk(z) dengan k ≠ 0 didefinisikan untuk semua bukan nol z . Kita punya W0(0) = 0 dan limz→0 Wk(z) = −∞ untuk semua k ≠ 0.

Titik cabang untuk cabang utama ada di z = −1e, dengan potongan cabang yang meluas ke −∞ sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang W−1 dan W1. Di semua cabang Wk dengan k ≠ 0, ada titik bercabang di z = 0 dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi Wk(z), kZ semuanya injektif dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai W adalah bidang kompleks. Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan kuadratrik dari Hippias, kurva parametrik w = −t cot t + it.

Invers[sunting | sunting sumber]

Wilayah bidang kompleks yang untuknya . Batas yang lebih gelap dari suatu kawasan tertentu disertakan dalam kawasan berwarna lebih terang dengan warna yang sama. Titik di {-1,0} disertakan di kedua wilayah (biru) dan wilayah (abu-abu). Garis kisi horizontal adalah kelipatan π.

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana ' adalah benar. f=zez menyiratkan bahwa ada n seperti itu , di mana n akan bergantung pada nilai z . Nilai bilangan bulat n akan berubah secara tiba-tiba saat zez berada di potongan cabang yang berarti itu zez ≤ 0, kecuali untuk di mana tempatnya zez ≤ -1/e.

Menetapkan di mana x dan y . Mengekspresikan e z dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

Untuk , cabang dipotong untuk akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:

dan

Untuk , cabang dipotong untuk akan menjadi sumbu nyata dengan sehingga ketimpangan menjadi:

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi W dapat dibalik: yaitu .

Kalkulus[sunting | sunting sumber]

Turunan[sunting | sunting sumber]

Dengan diferensiasi implisit, seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari W memenuhi persamaan diferensial

(W bukan dapat dibedakan untuk z = −1e.) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari W:

Menggunakan identitas eW(z) = zW(z), kami mendapatkan rumus setara berikut:

Di asalnya kita punya

Antiturunan[sunting | sunting sumber]

Fungsi W(x), dan banyak ekspresi yang melibatkan W(x), bisa terintegrasi menggunakan substitusi w = W(x), yaitu x = wew:

(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada x = 0). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa W0(e) = 1) adalah identitas

Ekspansi asimtotik[sunting | sunting sumber]

Deret Taylor dari W0 sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan Teorema inversi Lagrange dan diberikan oleh

Radius konvergensi adalah 1e, seperti yang dapat dilihat oleh uji rasio. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi fungsi holomorfik yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan potongan cabang sepanjang interval (−∞, −1eTemplat:Square bracket close; fungsi holomorfik ini mendefinisikan cabang utama dari fungsi Lambert W.

Untuk nilai besar dari x, W0 asimtotik dengan

dimana L1 = ln x, L2 = ln ln x, dan [l + ml + 1] adalah sebuah Bilangan Stirling dari jenis pertama non-negatif.[2] Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,

Cabang real lainnya, W−1, didefinisikan dalam interval [−1e, 0),memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika x mendekati nol, dengan dalam kasus ini L1 = ln(−x) dan L2 = ln(−ln(−x)).[2]

Itu menunjukkan[7] yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk xe):

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan[8] bahwa cabang W−1 bisa dibatasi sebagai berikut:

Bilangan bulat pangkat dan kompleks[sunting | sunting sumber]

Bilangan bulat pangkat dari W0 juga mengakui ekspansi deret Taylor (atau Laurent) sederhana:

Secara lebih umum, untuk r, Rumus inversi Lagrange diberikan

yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent r. Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor W0(x) / x:

yang berlaku untuk semua dan .

Identitas[sunting | sunting sumber]

Sebuah plot Wj(x ex) dimana biru untuk j = 0 dan merah untuk j = -1. Garis diagonal mewakili interval di mana Wj(x ex)=x

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:

Perhatikan itu, karena f(x) = xex tidak injeksi, tidak selalu begitu W(f(x)) = x, mirip dengan fungsi trigonometri terbalik. Untuk diperbaiki x < 0 dan x ≠ −1, persamaan xex = yey memiliki dua solusi di y, salah satunya tentu saja y = x. Kemudian, untuk i = 0 dan x < −1, serta untuk i = −1 dan x ∈ (−1, 0), y = Wi(xex) adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:[9]

[10]
(yang dapat diperpanjang ke n dan x lainnya jika cabang yang benar dipilih).

Mengganti −ln x dalam definisi:

Dengan eksponensial iterasi Euler h(x):

Nilai khusus[sunting | sunting sumber]

Untuk sembarang bilangan aljabar bukan nol x, W(x) adalah bilangan transendental. Memang, jika W(x) adalah nol, maka x harus nol juga, dan jika W(x) bukan nol dan aljabar, lalu menurut teorema Lindemann–Weierstrass, eW(x) harus transendental, menyiratkan itu x = W(x)eW(x) juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

(konstanta Omega).

Representasi[sunting | sunting sumber]

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:[11]

Di domain yang lebih luas 1exe, representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:[12]

Representasi pecahan berlanjut berikut juga berlaku untuk cabang utama:[13]

Juga, jika :[14]

Gantinya, jika , maka

Plot[sunting | sunting sumber]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Chow, Timothy Y. (1999), "What is a closed-form number?", American Mathematical Monthly, 106 (5): 440–448, arXiv:math/9805045alt=Dapat diakses gratis, doi:10.2307/2589148, JSTOR 2589148, MR 1699262 .
  2. ^ a b c d Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). "On the Lambert W function". Advances in Computational Mathematics. 5: 329–359. arXiv:1809.07369alt=Dapat diakses gratis. doi:10.1007/BF02124750. Diarsipkan dari versi asli (PostScript) tanggal 2011-08-28. Diakses tanggal 2020-10-20. 
  3. ^ Lambert J. H., "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128–168, 1758.
  4. ^ Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921.
  5. ^ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J. (1993). "Lambert's W function in Maple". The Maple Technical Newsletter. 9: 12–22. CiteSeerX 10.1.1.33.2556alt=Dapat diakses gratis. 
  6. ^ Bronstein, Manuel; Corless, Robert M.; Davenport, James H.; Jeffrey, D.J. (2008). "Algebraic properties of the Lambert W function from a result of Rosenlicht and of Liouville". Integral Transforms and Special Functions. 19 (10): 709–712. doi:10.1080/10652460802332342. 
  7. ^ A. Hoorfar, M. Hassani, Inequalities on the Lambert W Function and Hyperpower Function, JIPAM, volume 9, issue 2, article 51. 2008.
  8. ^ Chatzigeorgiou, I. (2013). "Bounds on the Lambert function and their Application to the Outage Analysis of User Cooperation". IEEE Communications Letters. 17 (8): 1505–1508. arXiv:1601.04895alt=Dapat diakses gratis. doi:10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. 
  9. ^ "Lambert function: Identities (formula 01.31.17.0001)". 
  10. ^ "Lambert W-Function". 
  11. ^ Finch, S. R. (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. hlm. 450. 
  12. ^ István, Mező. "An integral representation for the principal branch of Lambert the W function". Diakses tanggal 7 November 2017. 
  13. ^ Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K. (2006). The Lambert W Fungsi dan Aplikasinya pada Soal Matematika Fisika (dalam bahasa Rusia). RFNC-VNIIEF. hlm. 53. 
  14. ^ Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth (1997). A sequence of series for the Lambert W function. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. hlm. 197–204. doi:10.1145/258726.258783. ISBN 978-0897918756. 

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]