Teorema kecil Fermat

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Teorema kecil Fermat menyatakan bahwa jika p adalah bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat a, nilai dari a p a adalah kelipatan dari p. Dalam notasi aritmetika modular, hubungan ini dituliskan sebagai

Sebagai contoh, jika dan , maka dan nilai dari adalah kelipatan .

Jika tidak habis dibagi dengan , maka Teorema kecil Fermat setara dengan pernyataan bahwa adalah kelipatan , atau dalam persamaan:

Dengan contoh yang serupa, jika dan , maka dan nilai dari adalah kelipatan .


Teorema kecil Fermat adalah dasar untuk test keprimaan Fermat dan salah satu hasil penting dalam teori bilangan. Namanya diambil dari matematikawan Prancis Pierre de Fermat, yang menuliskannya pada tahun 1640. Teorema ini disebut "kecil" untuk membedakannya dari Teorema terakhir Fermat.

Teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema Euler, yang menyatakan bahwa untuk semua bilangan bulat dan , berlaku

dimana melambangkan fungsi phi Euler.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat pertama kali menyatakan teorema tersebut dalam sebuah surat tertanggal 18 Oktober 1640, kepada teman dan orang kepercayaannya Frénicle de Bessy. Rumusannya setara dengan berikut ini:[1]

Jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat apa pun yang tidak habis dibagi p, maka a p − 1 − 1 habis dibagi p.

Pernyataan asli Fermat adalah

Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné ; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question.

Ini dapat diterjemahkan, dengan penjelasan dan rumus yang ditambahkan dalam tanda kurung untuk memudahkan pemahaman, seperti:

Setiap bilangan prima [ p] pasti membagi salah satu pangkat minus satu dari [geometris] perkembangan [a, a2, a3, ... ] [yaitu, t sehingga p membagi at – 1], dan eksponen pangkat ini [ t] membagi bilangan prima dikurangi satu [membagi p – 1]. Setelah menemukan pangkat pertama [ t] yang memenuhi pertanyaan, semua orang yang eksponennya adalah kelipatan eksponen yang pertama memenuhi pertanyaan yang sama [yaitu, semua perkalian dari t pertama memiliki sifat yang sama].

Fermat tidak mempertimbangkan kasus di mana a adalah kelipatan dari p atau membuktikan pernyataannya, hanya menyatakan:[2]

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

(Dan proposisi ini umumnya benar untuk semua deret [ sic ] dan untuk semua bilangan prima; Saya akan mengirimkan demonstrasi kepada Anda, jika saya tidak takut terjadi terlalu lama.)[3]

Euler memberikan bukti terbitan pertama pada tahun 1736, dalam makalah berjudul "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio" dalam Proceedings di St. Petersburg. Akademi Petersburg,[4] tetapi Leibniz telah memberikan bukti yang hampir sama dalam sebuah manuskrip yang tidak diterbitkan dari beberapa waktu sebelum 1683.[1]

Istilah "teorema kecil Fermat" pertama kali digunakan di media cetak pada tahun 1913 di Zahlentheorie oleh Kurt Hensel:

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist.

(Ada teorema fundamental yang berlaku di setiap grup berhingga, biasanya disebut teorema kecil Fermat karena Fermat adalah orang pertama yang membuktikan bagian yang sangat khusus darinya.)

Albert 2015, hlm. 206</ref>

Sejarah lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Beberapa ahli matematika secara independen membuat hipotesis terkait (terkadang salah disebut Hipotesis Cina) 2p ≡ 2 (mod p) jika dan hanya jika p adalah bilangan prima. Bagian "jika" benar, dan ini adalah kasus khusus dari teorema kecil Fermat. Namun, bagian "hanya jika" salah: Misalnya, 2341 ≡ 2 (mod 341), but 341 = 11 × 31 adalah pseudoprima. Lihat di bawah.

Bukti[sunting | sunting sumber]

Beberapa bukti teorema kecil Fermat diketahui. Ini sering dibuktikan hasil sampingan/langsung (corollary) dari Teorema Euler.

Generalisasi[sunting | sunting sumber]

Teorema Euler adalah generalisasi dari teorema kecil Fermat: untuk modulus dan bilangan bulat apa pun a koprima hingga n, adalah

dimana menunjukkan Fungsi total Euler (yang menghitung bilangan bulat dari 1 hingga n yang koprima hingga n). Teorema kecil Fermat kasus khusus, karena jika adalah bilangan prima, maka .

Teorema Euler adalah: untuk setiap bilangan bulat positif n, jika bilangan bulat a adalah koprime dengan n maka

untuk bilangan bulat x dan y. Ini mengikuti dari teorema Euler, karena, jika , sehingga untuk beberapa bilangan bulat k, dan satu memiliki

Jika n adalah bilangan prima, ini juga merupakan akibat wajar dari teorema kecil Fermat. Ini banyak digunakan dalam aritmetika modular, karena ini memungkinkan pengurangan eksponen modular dengan eksponen besar menjadi eksponen yang lebih kecil dari n.

Jika n bukan bilangan prima, ini digunakan di kriptografi kunci publik, biasanya di kriptografi RSA dengan cara berikut:[5] jika

x dari nilai e dan n jika Faktanya, algoritme Euklides memungkinkan komputasi modular invers dari e modulo itu adalah bilangan bulat f maka

Di sisi lain, jika n = pq adalah hasil kali dari dua bilangan prima yang berbeda, maka Dalam kasus ini, menemukan f dari n dan e diketahui (ini tidak terbukti, tetapi tidak ada algoritme yang diketahui untuk menghitung f tanpa mengetahui ). Jika n dan faktor p dan q mudah untuk disimpulkan, karena seseorang mengetahui hasil kali n dan jumlahnya Ide dasar dari kriptosistem RSA adalah: jika pesan x dienkripsi sebagai menggunakan nilai publik dari n dan e, kemudian, dengan pengetahuan saat ini, ia tidak dapat didekripsi tanpa menemukan faktor (rahasia) p dan q dari n.

Teorema kecil Fermat juga terkait dengan Fungsi Carmichael dan Teorema Carmichael, serta Teorema Lagrange dalam teori grup.

Konversi[sunting | sunting sumber]

Kebalikan dari teorema kecil Fermat umumnya tidak benar, karena gagal untuk bilangan Carmichael. Namun, bentuk teorema yang sedikit lebih kuat adalah benar, dan ini dikenal sebagai teorema Lehmer. Teorema tersebut adalah sebagai berikut:

Jika bilangan bulat a

dan untuk bilangan prima q membagi p − 1

maka p adalah bilangan prima.

Teorema ini membentuk dasar untuk uji primalitas Lucas, sebuah uji primaliti.

Pseudoprima[sunting | sunting sumber]

Jika a dan p adalah bilangan coprime sehingga ap−1 − 1 habis dibagi p, maka p tidak perlu bilangan prima. Jika tidak, maka p disebut (Fermat) pseudoprima ke basis a. Pseudoprime pertama ke basis 2 ditemukan pada tahun 1820 oleh Pierre Frédéric Sarrus: 341 = 11 × 31.[6][7]

Bilangan p yang merupakan pseudoprime Fermat ke basis a untuk setiap bilangan a yang koprima dengan p disebut bilangan Carmichael (misalnya 561). Bergantian, bilangan p memenuhi persamaan

bisa berupa bilangan prima atau bilangan Carmichael.

Uji primalitas Miller–Rabin[sunting | sunting sumber]

Uji primalitas Miller–Rabin menggunakan ekstensi teorema kecil Fermat berikut:[8]

Jika p adalah bilangan prima ganjil, dan p – 1 = 2s d, dengan d ganjil, lalu untuk setiap a prima hingga p, yaitu ad ≡ 1 mod p, atau t sehingga 0 ≤ t < s dan a2td ≡ −1 mod p

Hasil ini dapat disimpulkan dari teorema kecil Fermat dengan fakta bahwa, jika p adalah bilangan prima ganjil, maka bilangan bulat modulo p membentuk medan berhingga, di mana 1 adalah 1 dengan -1.

Uji Miller–Rabin menggunakan properti ini dengan cara berikut:{math|1=p = 2s d + 1}}, dengan d ganjil, bilangan bulat ganjil yang primalitasnya harus diuji, pilih secara acak a sehingga 1 < a < p; maka b = ad mod p; jika b bukan 1 atau −1, maka kuadratkan berulang kali modulo p sampai Anda mendapatkan 1, −1, atau telah mengkuadratkan s kali. Jika b ≠ 1 dan −1 belum diperoleh, maka p bukan bilangan prima. Jika tidak, p mungkin bilangan prima atau tidak. Jika p bukan bilangan prima, probabilitas hal ini dibuktikan dengan pengujian lebih tinggi dari 1/4. Oleh karena itu, setelah k uji acak non-konklusif, probabilitas bahwa p bukan bilangan prima lebih rendah dari (3/4)k, dan karenanya dapat dibuat serendah yang diinginkan, dengan meningkatkan k.

Singkatnya, pengujian tersebut membuktikan bahwa suatu bilangan bukan bilangan prima, atau menyatakan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan prima dengan probabilitas kesalahan yang dapat dipilih rendah. Tes ini sangat sederhana untuk diterapkan dan secara komputasi lebih efisien daripada semua tes deterministik yang diketahui. Oleh karena itu, biasanya digunakan sebelum memulai pembuktian keutamaan.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Burton
  2. ^ Fermat, Pierre (1894), Tannery, P.; Henry, C., ed., Oeuvres de Fermat. Tome 2: Correspondance, Paris: Gauthier-Villars, hlm. 206–212  (in French)
  3. ^ Mahoney 1994, hlm. 295 for the English translation
  4. ^ Ore 1988, hlm. 273
  5. ^ Trappe, Wade; Washington, Lawrence C. (2002), Introduction to Cryptography with Coding Theory, Prentice-Hall, hlm. 78, ISBN 978-0-13-061814-6 
  6. ^ Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A128311 (Remainder upon division of 2n−1−1 by n.)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  7. ^ Sarrus, Frédéric (1819–1820). "Démonstration de la fausseté du théorème énoncé á la page 320 du IXe volume de ce recueil" [Demonstration of the falsity of the theorem stated on page 320 of the 9th volume of this collection]. Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (dalam bahasa Prancis). 10: 184–187. 
  8. ^ Rempe-Gillen, Lasse; Waldecker, Rebecca (2013-12-11). "4.5.1. Lemma (Roots of unity modulo a prime)". Primality Testing for Beginners (dalam bahasa Inggris). American Mathematical Soc. ISBN 9780821898833. 

Referensi[sunting | sunting sumber]

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Weisstein, Eric W. "Fermat's Little Theorem". MathWorld. 

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Fermat's Little Theorem Converse". MathWorld.