Teorema Euler

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam teori bilangan, Teorema Euler (juga dikenal sebagai Teorema Fermat-Euler atau Teorema Total Euler) menyatakan bahwa jika n dan a adalah bilangan bulat positif yang saling koprima, maka a pangkat fungsi phi Euler dari n akan kongruen dengan satu dalam modulo n. Secara matematis hal ini dapat dinyatakan sebagai

dengan adalah fungsi phi Euler. Pada tahun 1736, Leonhard Euler mempublikasikan bukti teorema kecil Fermat versinya,[1] karena Fermat tidak menyertakan bukti teorema tersebut. Selanjutnya, Euler menerbitkan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada "Teorema Euler" dalam penelitiannya tahun 1763, di mana ia mencoba untuk menemukan eksponen terkecil sehinga teorema kecil Fermat selalu bernilai benar.[2]

Kebalikan dari teorema Euler: jika kekongruenan di atas benar, maka dan saling koprima.

Untuk kasus adalah suatu bilangan prima , teorema Euler adalah perumuman dari teorema kecil Fermat. Pada kasus ini, nilai , dan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan , teorema Euler dapat ditulis sebagai

Teorema Euler juga dapat diperumum lebih lanjut dengan teorema Carmichael.

Teorema Euler dapat digunakan untuk mengurangi nilai pangkat yang besar pada modulo . Misalnya, anggap kita perlu untuk mencari digit desimal tempat satuan dari , dengan kata lain, mencari nilai dari . Kita dapat mencari bahwa nilai , dan mengetahui angka 7 dan 10 saling koprima. Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Euler didapatkan . Selanjutnya kita tinggal menyederhanakan bentuk seperti berikut

.

Secara umum, mengurangi nilai pangkat dari pada modulo (dengan dan saling koprima), kita cukup bekerja pada modulo dalam perpangkatan :

jika , maka .

Teorema Euler menjadi dasar algoritma RSA, yang banyak digunakan dalam sistem komunikasi di Internet. Dalam algoritma ini, teorema Euler digunakan bersama sebuah bilangan n yang merupakan hasil kali dari dua bilangan prima besar. Tingkat keamanan algoritma tersebut didasarkan pada tingkat kesulitan untuk memfaktorkan bilangan n.

Bukti[sunting | sunting sumber]

Terdapat beberapa cara untuk membuktikan Teorema Euler, berikut dua diantaranya.

Teori grup[sunting | sunting sumber]

Teorema Euler dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep dari teori grup:[3] Kelas residu modulo n yang coprime untuk n membentuk kelompok dalam perkalian (lihat artikel Grup perkalian bilangan bulat modulo n). urutan dari grup adalah φ(n). Teorema Lagrange urutan subgrup dari sebuah grup hingga membagi urutan seluruh grup, dalam hal ini φ(n). Jika a bilangan koprima sampai n maka a salah satu kelas residu, dan pangkat a, a2, ... , ak modulo n subgrup dari grup kelas residu, dengan ak ≡ 1 (mod n). Teorema Lagrange mengatakan k harus membagi φ(n), yaitu bilangan bulat M sedemikian rupa sehingga kM = φ(n). Ini kemudian menyiratkan,

Bukti langsung[sunting | sunting sumber]

Teorema Euler juga dapat dibuktikan secara langsung:[4][5] Anggap R = (x1, x2, ... , xφ(n)} sebagai sistem residu yang dikurangi (mod n) dan biarkan a koprima bilangan bulat n. Buktinya bergantung dasar bahwa perkalian dengan a yaitu xi: dengan kata, jika axjaxk (mod n) maka j = k. (Hukum pembatalxan ini dibuktikan dalam artikel Grup perkalian bilangan bulat modulo n.[6]) Yaitu, himpunan R dan aR = (ax1, ax2, ... , axφ(n)}, dianggap sebagai himpunan kelas (mod n), identik (sebagai himpunan), jadi produk dari semua bilangan di R kongruen (mod n) ke produk dari bilangan aR:

dan menggunakan hukum pembatalan untuk xi dari teorema Euler:

Hasil bagi Euler[sunting | sunting sumber]

Hasil bagi Euler dari bilangan bulat a dengan n didefinisikan sebagai:

Hasil bagi Fermat adalah kasus khusus dari hasil bagi Euler ketika n berupa bilangan prima.

Bilangan ganjil n yang membagi disebut bilangan Wieferich. Hal tersebut setara dengan mengatakan . Sebagai perumuman, sebuah bilangan n yang koprima dengan bilangan bulat positif a, dan n membagi , disebut bilangan Wieferich (yang diperumum) pada basis a. Dengan kata lain, bilangan tersebut memenuhi .

Berikut adalah daftar bilangan Wieferich pada basis , untuk , yang dicari sampai 1048576.

Bilangan Wieferich pada basis Barisan OEIS
1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, ... (all natural numbers) A000027
2 1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, 1232361, 2053935, 2685501, 3697083, 3837523, 6161805, 11512569, ... A077816
3 1, 11, 22, 44, 55, 110, 220, 440, 880, 1006003, 2012006, 4024012, 11066033, 22132066, 44264132, 55330165, 88528264, 110660330, 221320660, 442641320, 885282640, 1770565280, 56224501667, 112449003334, ... A242958
4 1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, ...
5 1, 2, 20771, 40487, 41542, 80974, 83084, 161948, 643901, 1255097, 1287802, 1391657, 1931703, 2510194, 2575604, 2783314, 3765291, 3863406, 4174971, 5020388, 5151208, 5566628, 7530582, 7726812, 8349942, 10040776, 11133256, 15061164, 15308227, 15453624, 16699884, ... A242959
6 1, 66161, 330805, 534851, 2674255, 3152573, 10162169, 13371275, 50810845, 54715147, 129255493, 148170931, 254054225, 273575735, 301121113, 383006029, 646277465, ... A241978
7 1, 4, 5, 10, 20, 40, 80, 491531, 983062, 1966124, 2457655, 3932248, 4915310, 6389903, 9339089, 9830620, 12288275, 12779806, 18678178, 19169709, 19661240, 24576550, 25559612, ... A242960
8 1, 3, 1093, 3279, 3511, 7651, 9837, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 206577, 228215, 284391, 298389, 383643, 410787, 473985, 684645, 895167, ...
9 1, 2, 4, 11, 22, 44, 55, 88, 110, 220, 440, 880, 1760, 1006003, ...
10 1, 3, 487, 1461, 4383, 13149, 39447, 118341, 355023, 56598313, 169794939, 509384817, ... A241977
11 1, 71, 142, 284, 355, 497, 710, 994, 1420, 1491, 1988, 2485, 2840, 2982, 3976, 4970, 5680, 5964, 7455, 9940, 11928, 14910, 19880, 23856, 29820, 39760, 59640, 79520, 119280, 238560, 477120, ... A253016
12 1, 2693, 123653, 1812389, 2349407, 12686723, 201183431, 332997529, ... A245529
13 1, 2, 863, 1726, 3452, 371953, 743906, 1487812, 1747591, 1859765, 2975624, 3495182, 3719530, 5242773, 6990364, 7439060, 8737955, 10485546, 14878120, 15993979, 17475910, 20971092, 26213865, 29756240, 31987958, 34951820, 41942184, 47981937, 52427730, 59512480, ... A257660
14 1, 29, 353, 3883, 10237, 19415, 112607, 563035, ...
15 1, 4, 8, 29131, 58262, 116524, 233048, 466096, ...
16 1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, ...
17 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48, 46021, 48947, 92042, 97894, 138063, 146841, 184084, 195788, 230105, 276126, 293682, 368168, 391576, 414189, 460210, 552252, 587364, 598273, 690315, 736336, 783152, 828378, 920420, ...
18 1, 5, 7, 35, 37, 49, 185, 245, 259, 331, 1295, 1655, 1813, 2317, 3641, 8275, 9065, 11585, 12247, 16219, 18205, 25487, 33923, 57925, 61235, 81095, 85729, 91025, 127435, 134717, 169615, 178409, 237461, 306175, 405475, 428645, 455125, 600103, 637175, 673585, 892045, 943019, ...
19 1, 3, 6, 7, 12, 13, 14, 21, 26, 28, 39, 42, 43, 49, 52, 63, 78, 84, 86, 91, 98, 104, 117, 126, 129, 137, 147, 156, 168, 172, 182, 196, 234, 252, 258, 273, 274, 294, 301, 312, 364, 387, 411, 441, 468, 504, 516, 546, 548, 559, 588, 602, 624, 637, 728, 774, 819, 822, 882, 903, 936, 959, 1032, 1092, 1096, 1118, 1176, 1204, 1274, 1456, 1548, 1638, 1644, 1677, 1764, 1781, 1806, 1872, 1911, 1918, 2107, 2184, 2192, 2236, 2329, 2408, 2457, 2548, 2709, 2877, 3096, 3276, 3288, 3354, 3528, 3562, 3612, 3822, 3836, 3913, 4214, 4368, 4472, 4658, 4914, 5031, 5096, 5343, 5418, 5733, 5754, 5891, 6321, 6552, 6576, 6708, 6713, 6987, 7124, 7224, 7644, 7672, 7826, 8127, 8428, 8631, 8736, 8944, 9316, 9828, 10062, 10192, 10686, 10836, 11466, 11508, 11739, 11782, 12467, 12642, 13104, 13152, 13416, 13426, 13974, 14248, 14448, 14749, 15093, 15288, 15344, 15652, 16029, 16254, 16303, 16856, 17199, 17262, 17673, 18632, 18963, 19656, 20124, 20139, 21372, 21672, 22932, 23016, 23478, 23564, 24934, 25284, 26208, 26832, 26852, 27391, 27948, 28496, 29498, 30186, 30277, 30576, 30688, 31304, 32058, 32508, 32606, 34398, 34524, 35217, 35346, 37264, 37401, 37926, 39312, 40248, 40278, 41237, 42744, 43344, 44247, 45864, 46032, 46956, 47128, 48909, 49868, 50568, 53019, 53664, 53704, 54782, 55896, 56889, 56992, 58996, 60372, 60417, 60554, 61152, 62608, 64116, 65016, 65212, 68796, 69048, 70434, 70692, 74528, 74802, 75852, 76583, 78624, 80496, 80556, 82173, 82474, 85488, 87269, 88494, 90831, 91728, 92064, 93912, 94256, 97818, 99736, 100147, 101136, 105651, 106038, 107408, 109564, 111792, 112203, 113778, 113984, 114121, 117992, 120744, 120834, 121108, 123711, 125216, 128232, 130032, 130424, 132741, 137592, 138096, 140868, 141384, 146727, 149056, 149604, 151704, 153166, 160992, 161112, 164346, 164948, 170976, 174538, 176988, 181662, 183456, 184128, 187824, 188512, 191737, 195636, 199472, 200294, 211302, 211939, 212076, 214816, 219128, 223584, 224406, 227556, 228242, 229749, 241488, 241668, 242216, 246519, 247422, 256464, 260848, 261807, 265482, 272493, 275184, 276192, 281736, 282768, 288659, 293454, 298112, 299208, 300441, 303408, 306332, 316953, 322224, 328692, 329896, 336609, 341952, 342363, 349076, 353976, 363324, 371133, 375648, 383474, 391272, 398223, 398944, 400588, 422604, 423878, 424152, 438256, 447168, 448812, 455112, 456484, 459498, 482976, 483336, 484432, 493038, 494844, 512928, 521696, 523614, 530964, 536081, 544986, 550368, 552384, 563472, 565536, 575211, 577318, 586908, 596224, 598416, 600882, 612664, 633906, 635817, 644448, 657384, 659792, 673218, 683904, 684726, 689247, 698152, 701029, 707952, 726648, 739557, 742266, 751296, 766948, 782544, 785421, 796446, 797888, 801176, 845208, 847756, 848304, 865977, 876512, 894336, 897624, 901323, 910224, 912968, 918996, 966672, 968864, 986076, 989688, 1025856, 1027089, 1043392, 1047228, ...
20 1, 281, 1967, 5901, 46457, ...
21 1, 2, ...
22 1, 13, 39, 673, 2019, 4711, 8749, 14133, 26247, 42399, 61243, 78741, 183729, 551187, ...
23 1, 4, 13, 26, 39, 52, 78, 104, 156, 208, 312, 624, 1248, ...
24 1, 5, 25633, 128165, ...
25 1, 2, 4, 20771, 40487, 41542, 80974, 83084, 161948, 166168, 323896, 643901, ...
26 1, 3, 5, 9, 15, 45, 71, 213, 355, 497, 639, 1065, 1491, 1775, 2485, 3195, 4473, 5325, 7455, 12425, 13419, 15975, 22365, 37275, 67095, 111825, 335475, ...
27 1, 11, 22, 44, 55, 110, 220, 440, 880, 1006003, ...
28 1, 3, 9, 19, 23, 57, 69, 171, 207, 253, 437, 513, 759, 1265, 1311, 1539, 2277, 3795, 3933, 4807, 11385, 11799, 14421, 24035, 35397, 43263, 72105, 129789, 216315, 389367, 648945, ...
29 1, 2, ...
30 1, 7, 160541, ...

Basis terkecil dari sehingga merupakan bilangan Wieferich termuat dalam barisan

2, 5, 8, 7, 7, 17, 18, 15, 26, 7, 3, 17, 19, 19, 26, 31, 38, 53, 28, 7, 19, 3, 28, 17, 57, 19, 80, 19, 14, 107, 115, 63, 118, 65, 18, 53, 18, 69, 19, 7, 51, 19, 19, 3, 26, 63, 53, 17, 18, 57, ... (barisan A250206 pada OEIS)

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Lihat:
  2. ^ Lihat:
    • L. Euler (published: 1763) "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata" (Bukti metode baru dalam teori aritmetika), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 8 : 74–104. Teorema Euler muncul sebagai "Teorema 11" pada halaman 102. Makalah ini pertama kali dipresentasikan ke Akademi Berlin pada 8 Juni 1758 dan ke Akademi St. Petersburg pada 15 Oktober 1759. Dalam makalah ini, fungsi total Euler, , tidak dinamai tetapi disebut sebagai "numerus partium ad N primarum" (jumlah bagian prima ke N; yaitu, jumlah bilangan asli yang lebih kecil dari N dan relatif prima sampai N)
    • Untuk detail lebih lanjut tentang makalah ini, lihat: The Euler Archive.
    • Untuk review pekerjaan Euler selama bertahun-tahun yang mengarah ke teorema Euler, lihat: Ed Sandifer (2005) "Euler's proof of Fermat's little theorem"
  3. ^ Ireland & Rosen, corr. 1 to prop 3.3.2
  4. ^ Hardy & Wright, thm. 72
  5. ^ Landau, thm. 75
  6. ^ Lihat lemma Bézout

Referensi[sunting | sunting sumber]

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalahnya tentang teori bilangan: semua bukti tentang reciprocity kuadrat, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan tentang biquadratic reciprocity, dan catatan yang tidak diterbitkan.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]