Teorema Wilson

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam teori bilangan, Teorema Wilson menyatakan bahwa bilangan bulat n > 1 adalah bilangan prima jika dan hanya jika perkalian semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari n mempunyai selisih 1 dengan suatu kelipatan dari n. Dengan menggunakan faktorial dan menggunakan notasi aritmetika modular, teorema ini dapat dituliskan sebagai

benar jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Dengan bahasa lain, n adalah bilangan prima jika dan hanya jika (n − 1)! + 1 habis dibagi oleh n.[1]

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Teorema ini dinyatakan oleh Ibnu Haitham (sekitar 1000 M),[2] dan pada abad ke-19 oleh John Wilson.[3] Edward Waring mengumumkan teorema tersebut pada tahun 1770, walau dia maupun muridnya, Wilson, dapat membuktikannya. Langrage memberikan bukti pertama pada tahun 1771.[4] Terdapat bukti bahwa Leibniz juga menyadari bukti teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah mempublikasikannya.[5][6]

Contoh[sunting | sunting sumber]

Untuk bilangan n dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan (n − 1)! dan sisa pembagiannya dengan n. Warna latar biru digunakan untuk n termasuk bilangan prima, dan emas untuk bilangan komposit.

Tabel faktorial dan sisa pembagiannya dengan
(barisan A000142 pada OEIS) (barisan A061006 pada OEIS)
2 1 1
3 2 2
4 6 2
5 24 4
6 120 0
7 720 6
8 5040 0
9 40320 0
10 362880 0
11 3628800 10
12 39916800 0
13 479001600 12
14 6227020800 0
15 87178291200 0
16 1307674368000 0
17 20922789888000 16
18 355687428096000 0
19 6402373705728000 18
20 121645100408832000 0
21 2432902008176640000 0
22 51090942171709440000 0
23 1124000727777607680000 22
24 25852016738884976640000 0
25 620448401733239439360000 0
26 15511210043330985984000000 0
27 403291461126605635584000000 0
28 10888869450418352160768000000 0
29 304888344611713860501504000000 28
30 8841761993739701954543616000000 0

Bukti[sunting | sunting sumber]

Semua pembuktian berikut menggunakan fakta bahwa kelas residu modulo bilangan prima adalah suatu lapangan -- lihat artikel lapangan prima untuk detailnya. Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa setiap lapangan polinomialberderajat n memiliki maksimal n akar, digunakan dalam semua pembuktian.

Modulus komposit[sunting | sunting sumber]

Jika adalah bilangan komposit, maka ia dapat dibagi dengan suatu bilangan prima yang terletak diantara . Karena membagi , misalkan untuk suatu bilangan bulat . Dengan menggunakan kontradiksi, anggaplah untuk komposit. Karena adalah faktor dari , maka berlaku . Namun juga faktor dari , sehingga juga berlaku . Terjadi kontradiksi, dan dapat disimpulkan hanya terjadi jika bilangan prima.

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Uji keprimaan[sunting | sunting sumber]

Walaupun dapat digunakan sebagai salah satu uji keprimaan, pada praktiknya teorema Wilson tidak pernah dipakai. Hal disebabkan karena menghitung nilai (n − 1)! modulo n untuk bilangan n yang besar secara komputasional berat, dan karena ada banyak uji keprimaan yang lebih cepat.

Residu kuadratik

Dengan menggunakan teorema Wilson, kita dapat mengubah ruas kiri setiap bilangan prima ganjil di

untuk mendapatkan persamaanBentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai

atau

Bentuk ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema terkenal: untuk setiap bilangan prima yang memenuhi , bilangan adalah residu kuadratik modulo . Untuk membuktikannya, anggap untuk suatu nilai . Dengan mengambil dan menggunakan bentuk diatas, kita dapatkan kongruen dengan .

Persamaan untuk bilangan prima[sunting | sunting sumber]

Teorema Wilson telah digunakan untuk mengonstruksi persamaan bilangan prima, namun metode tersebut terlalu lambat untuk kegunaan praktis.

Fungsi gamma p-adic[sunting | sunting sumber]

Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi gamma p-adic.

Generalisasi Gauss[sunting | sunting sumber]

Gauss membuktikan bahwa[7]

dengan menyatakan bilangan prima ganjil, dan menyatakan bilangan bulat positif. Nilai yang menyebabkan hasil perkalian adalah bilangan yang memiliki akar primitif modulo m.

Hal ini memperumum faktr bahwa untuk setiap grup abelian finite, antara hasil perkalian semua elemennya adalah elemen identitas, atau terdapat tepat satu elemen berorde dua (namun tidak keduanya). Pada kasus yang kedua, hasil perkalian semua elemen adalah elemen .

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Darling, David. The Universal Book of Mathematics. hlm. 350. 
  2. ^ "Ibn al-Haytham - Biography". Maths History (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-02-10. 
  3. ^ Waring, Edward (1770). Meditationes Algebraicae (dalam bahasa Latin). Cambridge, England. hlm. 218. 
  4. ^ Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres: avec l'histoire pour la même année (dalam bahasa Prancis). Chrétien Fréderic Voss. 1773. 
  5. ^ Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche ... (dalam bahasa Italia). C. Clausen. 1899. 
  6. ^ Giuseppe Peano (1897). Formulaire de mathématiques: t. I-V (dalam bahasa French). Harvard University. Bocca frères, Ch. Clausen. 
  7. ^ Gauss, DA, art. 78