Bilangan alef

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Alef-nol (aleph-null), bilangan kardinal tak terhingga terkecil

Bilangan alef (bahasa Inggris: aleph number) dalam teori himpunan (suatu bidang matematika) adalah suatu urutan bilangan yang digunakan untuk melambangkan kardinalitas (atau ukuran) dari himpunan tak terhingga (infinite set). Dinamakan menurut simbol yang dipakai, yaitu huruf Ibrani "alef" ().[a]

Kardinalitas bilangan asli adalah (dibaca "alef-nol" (aleph-null), atau kadang kala dalam bahasa Inggris juga disebut aleph-naught atau aleph-zero). Kardinalitas berikutnya yang lebih besar adalah "alef-satu" (aleph-one) , kemudian dan seterusnya. Jika terus dilanjutkan, dimungkinkan untuk mendefinisikan suatu bilangan kardinal untuk setiap bilangan ordinal α, sebagaimana dinyatakan dibawah.

Konsep ini berasal dari Georg Cantor,[3] yang mendefinisikan pengertian kardinalitas dan menyadari bahwa himpunan tak terhingga dapat mempunyai kardinalitas yang berbeda.

Bilangan alef berbeda dari tak-hingga (∞) yang biasa ditemukan dalam aljabar dan kalkulus. Bilangan alef mengukur ukuran himpunan secara tak-hingga, di sisi lain pada umumnya didefinisikan sebagai limit ekstrim dari garis bilangan real (diterapkan ke fungsi atau urutan yang "divergen ke tak hingga" atau "menambah tanpa batas"), atau titik ekstrim dari garis bilangan real diperluas.

Alef-nol[sunting | sunting sumber]

adalah kardinalitas dari semua bilangan asli, dan merupakan suatu "bilangan transfinit" atau "kardinal tak hingga". Himpunan semua bilangan ordinal finit, dinamakan ω atau ω0, mempunyai kardinalitas . Suatu himpunan mempunyai kardinalitas jika dan hanya jika bilangan itu terhitung sebagai tak hingga, yaitu, ada bijeksi (kesesuaian satu lawan satu) di antaranya dan bilangan-bilangan asli. Contoh-contoh himpunan tersebut adalah:

Ordinal tak hingga ini: dan [[Bilangan Epsilon|ε] adalah salah satu himpunan tak hingga yang terhitung.[4] Misalnya, barisan (dengan ordinalitas ω·2) dari semua bilangan bulat ganjil positif diikuti oleh semua bilangan bulat genap positif

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

adalah urutan himpunan (dengan kardinalitas ) dari bilangan bulat positif.

Jika aksioma pilihan terhitung (versi yang lebih lemah dari aksioma pilihan) berlaku, maka lebih kecil dari kardinal tak hingga lainnya.

Alef-satu[sunting | sunting sumber]

adalah kardinalitas dari himpunan semua bilangan ordinal yang terhitung, disebut ω1 atau (kadang-kadang) Ω. ω1 sendiri adalah suatu bilangan ordinal yang lebih besar dari semua bilangan ordinal yang terhitung, sehingga merupakan suatu himpunan tak terhitung. Jadi, berbeda dari . Definisi menyiratkan (dalam ZF, teori himpunan Zermelo–Fraenkel tanpa aksioma pilihan) bahwa tidak ada bilangan ordinal antara dan .

Hipotesis kontinum[sunting | sunting sumber]

Kardinalitas suatu himpunan bilangan real (kardinalitas continuum) adalah . Tidak dapat ditentukan dari ZFC (teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan) di mana bilangan ini tepat masuk dalam hierarki bilangan alef, tetapi menuruti ZFC bahwa hipotesis kontinum , ekuivalen dengan persamaan identitas

Alef-ω[sunting | sunting sumber]

Secara konvensional, bilangan ordinal tak terhingga terkecil dilambangkan dengan ω, dan bilangan kardinal merupakan batas atas terkecil dari

di antara bilangan-bilangan alef.

Alef-α untuk α umum[sunting | sunting sumber]

Untuk mendefinisikan bagi bilangan ordinal sembarang , perlu didefinisikan operasi kardinal penerus, yang diberikan pada setiap bilangan kardinal ρ bilangan kardinal ρ+ berikutnya yang lebih besar dalam urutan teratur (jika aksioma pilihan masih dipertahankan, inilah bilangan kardinal lebih besar berikutnya).

Maka bilangan-bilangan alef dapat didefinikan sebagai berikut:

dan untuk λ, suatu ordinal limit tak terhingga,

Ordinal awal tak terhingga ke-α ditulis . Kardinalitasnya ditulis . Lihat ordinal awal.

Peranan aksioma pilihan[sunting | sunting sumber]

Kardinalitas suatu bilangan ordinal tak terhingga adalah sebuah bilangan alef. Setiap bilangan alef adalah kardinalitas sejumlah bilangan ordinal. Yang terkecil di antaranya adalah ordinal awalnya. Setiap himpunan yang kardinalitasnya adalah suatu bilangan alef adalah ekuinumeral dengan suatu bilangan ordinal dan karenanya dapat tertata baik (well-orderable).

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Sierpiński, Wacław (1958). Cardinal and Ordinal Numbers. Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne. 34. Warsaw, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. MR 0095787. 
  2. ^ Swanson, Ellen; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979]. Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors (edisi ke-updated). Providence, RI: American Mathematical Society. hlm. 16. ISBN 0-8218-0053-1. MR 0553111. 
  3. ^ Miller, Jeff. "Earliest uses of symbols of set theory and logic". jeff560.tripod.com. Diakses tanggal 2016-05-05;  who quotes Dauben, Joseph Warren (1990). Georg Cantor: His mathematics and philosophy of the infinitePerlu mendaftar (gratis). ISBN 9780691024479. Bilangan barunya layak mendapatkan sesuatu yang unik. ... Tidak ingin menciptakan simbol baru sendiri, ia memilih alef, huruf pertama dari alfabet Ibrani ... alef dapat dianggap mewakili awal yang baru ... 
  4. ^ Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MathWorld. 



Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="lower-alpha"/> yang berkaitan