Relasi pengulangan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, relasi pengulangan adalah persamaan yang rekursif mendefinisikan array nilai urutan atau multidimensi, sekali satu atau lebih istilah awal diberikan; setiap suku selanjutnya dari barisan atau larik didefinisikan sebagai fungsi dari suku-suku sebelumnya.

Syarat persamaan perbedaan terkadang (dan untuk tujuan artikel ini) mengacu pada jenis relasi pengulangan tertentu. Namun, "persamaan perbedaan" sering digunakan untuk merujuk ke hubungan pengulangan dengan apa saja .

Definisi[sunting | sunting sumber]

Hubungan perulangan adalah persamaan yang mengekspresikan setiap elemen dari urutan sebagai fungsi dari yang sebelumnya. Lebih tepatnya, dalam kasus di mana hanya elemen sebelumnya yang terlibat, relasi pengulangan memiliki bentuk

dimana

adalah sebuah fungsi, di mana X adalah himpunan yang harus dimiliki elemen-elemen urutan. Untuk apapun , ini mendefinisikan urutan unik dengan sebagai elemen pertamanya, yang disebut nilai awal.[1]

Sangat mudah untuk mengubah definisi untuk mendapatkan urutan mulai dari indeks 1 atau lebih tinggi.

Ini mendefinisikan hubungan pengulangan urutan pertama . Relasi pengulangan order k memiliki bentuk

dimana adalah fungsi yang melibatkan k elemen berurutan dari urutan tersebut. Dalam kasus ini, nilai awal k diperlukan untuk menentukan urutan.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Faktorial[sunting | sunting sumber]

Faktorial ditentukan oleh relasi perulangan

dan kondisi awal

Peta logistik[sunting | sunting sumber]

Contoh relasi pengulangan adalah peta logistik:

dengan konstanta tertentu r ; mengingat istilah awal x0 setiap suku berikutnya ditentukan oleh relasi ini.

Memecahkan relasi pengulangan berarti memperoleh solusi bentuk tertutup: fungsi non-rekursif dari n .

Angka Fibonacci[sunting | sunting sumber]

Pengulangan urutan dua yang dipenuhi oleh Bilangan Fibonacci adalah pola dasar dari hubungan pengulangan linier yang homogen dengan koefisien konstan (lihat di bawah). Urutan Fibonacci ditentukan menggunakan pengulangan

dengan kondisi awal (nilai benih)

Secara eksplisit, pengulangan menghasilkan persamaan

etc.

Kami mendapatkan urutan angka Fibonacci, yang dimulai

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Pengulangan dapat diselesaikan dengan metode yang dijelaskan di bawah ini menghasilkan rumus Binet, yang melibatkan pangkat dua akar dari karakteristik polinomial t2 = t + 1; fungsi pembangkit dari barisan tersebut adalah fungsi rasional

Koefisien binomial[sunting | sunting sumber]

Contoh sederhana dari relasi pengulangan multidimensi diberikan oleh koefisien binomial , yang menghitung jumlah cara memilih elemen k dari satu set elemen n . Mereka dapat dihitung oleh relasi perulangan

dengan kasus dasar . Menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai semua koefisien binomial menghasilkan larik tak hingga yang disebut segitiga Pascal. Nilai yang sama juga dapat dihitung secara langsung dengan rumus berbeda yang bukan merupakan pengulangan, tetapi membutuhkan perkalian dan bukan hanya penambahan untuk menghitung:

Hubungan persamaan perbedaan didefinisikan secara sempit[sunting | sunting sumber]

Diberikan urutan urutan dari bilangan riil: perbedaan pertama didefinisikan sebagai

Perbedaan kedua didefinisikan sebagai

yang dapat disederhanakan menjadi

Lebih umum lagi: k-perbedaan dari urutan an ditulis sebagai didefinisikan secara rekursif sebagai

(Urutan dan perbedaannya terkait dengan transformasi binomial.) Definisi yang lebih ketat dari persamaan perbedaan adalah persamaan yang terdiri dari an dan itu kth perbedaan. (Definisi yang lebih luas digunakan secara luas memperlakukan "persamaan perbedaan" sebagai sinonim dengan "hubungan rekurensi". Lihat contoh persamaan perbedaan rasional dan persamaan perbedaan matriks)

Sebenarnya, mudah dilihat bahwa,

Dengan demikian, persamaan perbedaan dapat didefinisikan sebagai persamaan yang melibatkan an, an-1, an-2 dll. (atau dengan kata lain an, an+1, an+2 dll.)

Karena persamaan perbedaan adalah bentuk pengulangan yang sangat umum, beberapa penulis menggunakan kedua istilah tersebut secara bergantian. Misalnya persamaan selisih

setara dengan hubungan perulangan

Dengan demikian seseorang dapat menyelesaikan banyak hubungan pengulangan dengan menyusunnya kembali sebagai persamaan perbedaan, dan kemudian menyelesaikan persamaan perbedaan, analog dengan bagaimana seseorang memecahkan persamaan diferensial biasa. Namun, bilangan Ackermann adalah contoh relasi pengulangan yang tidak memetakan ke persamaan diferensial, apalagi titik pada solusi persamaan diferensial.

Lihat kalkulus skala waktu untuk penyatuan teori persamaan perbedaan dengan persamaan diferensial.

Persamaan penjumlahan s berhubungan dengan persamaan perbedaan karena persamaan integral berhubungan dengan persamaan diferensial.

Dari urutan ke kisi[sunting | sunting sumber]

Hubungan pengulangan variabel tunggal atau satu dimensi adalah tentang urutan (yaitu fungsi yang ditentukan pada kisi satu dimensi). Relasi pengulangan multi-variabel atau n-dimensi adalah tentang kisi berdimensi-n. Fungsi yang ditentukan pada n-grid juga dapat dipelajari dengan persamaan perbedaan parsial.[2]

Stabilitas[sunting | sunting sumber]

Stabilitas pengulangan tingkat tinggi linier[sunting | sunting sumber]

Pengulangan linear order d,

memiliki persamaan karakteristik

Pengulangannya adalah stabil, yang berarti bahwa iterasi menyatu secara asimtotik ke nilai tetap, jika dan hanya jika nilai eigen (yaitu, akar dari persamaan karakteristik), baik nyata maupun kompleks, semuanya kurang dari kesatuan dalam nilai absolut.

Stabilitas pengulangan matriks orde pertama linear[sunting | sunting sumber]

Dalam persamaan perbedaan matriks orde pertama

dengan vektor keadaan x dan matriks transisi A , x menyatu secara asimtotik ke vektor keadaan mapan x * jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks transisi A (apakah nyata atau kompleks) memiliki nilai absolut yang kurang dari 1.)

Hubungan dengan persamaan diferensial[sunting | sunting sumber]

Saat menyelesaikan sebuah persamaan diferensial biasa secara numerik, seseorang biasanya menemukan hubungan pengulangan. Misalnya, saat memecahkan masalah nilai awal

dengan metode Euler dan ukuran langkah h , seseorang menghitung nilainya

oleh nilai

Sistem persamaan diferensial orde pertama linier dapat didiskritisasi secara analitis menggunakan metode yang ditunjukkan dalam artikel diskritisasi.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Jacobson, Nathan , Basic Algebra 2 (2nd ed.), § 0.4. pg 16.
  2. ^ Partial difference equations, Sui Sun Cheng, CRC Press, 2003, ISBN 978-0-415-29884-1

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]