Dimensi Minkowski–Bouligan

Dimensi dari pesisir di Britania Raya dapat diestimasi dengan menggunakan dimensi penghitungan-kotak.

Dalam geometri fraktal, dimensi Minkowski–Bouligand (Inggris: Minkowski–Bouligand dimension), atau dikenal sebagai dimensi Minkowski (Inggris: Minkowski dimension) atau dimensi penghitungan-kotak (Inggris: box-counting dimension), merupakan cara menentukan dimensi fraktal himpunan $S$ dalam ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$, atau lebih umumnya dalam ruang metrik $(X,d)$. Dimensi ini dinamai dari matematikawan asal Polandia yang bernama Hermann Minkowski, dan matematikawan asal Prancis bernama Georges Bouligand.

Untuk menghitung dimensi ini untuk bangunan fraktal $S$, bayangkan suatu bangunan fraktal diletakkan pada bidang dengan jarak ruang antara kisi adalah sama, dan kemudian hitung ada berapa banyak kotak yang diperlukan untuk menutupi himpunan tersebut. Cara menghitung dimensi ini adalah dengan melihat bagaimana jumlah kotaknya berubah saat memperkecil jarak ruang antar kisi dengan menggunakan algoritma penghitungan kotak.

Definisi

Misalkan $N(\varepsilon )$ adalah jumlah kotak dari panjang sisi $\varepsilon$ yang dipakai untuk menutupi suatu himpunan. Maka dimensi menghitung-kotak didefinisikan sebagai

$\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.$

Secara garis besar, ini mengartikan bahwa dimensinya merupakan eksponen $d$ sehingga $N\left({\tfrac {1}{n}}\right)=Cn^{d}$, yang dipandang sebagai kasus trivial untuk $S$ yang merupakan ruang mulus (manifold) berdimensi bilangan bulat $d$.