Darab (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, darab adalah hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor untuk dikalikan. Misalnya, 30 adalah produk dari 6 dan 5 (hasil perkalian), dan adalah hasil kali dan (menunjukkan bahwa kedua faktor tersebut harus dikalikan bersama).

Dimana urutan real atau kompleks adalah perkalian tidak berpengaruh pada darab; ini dikenal sebagai hukum komutatif dari perkalian. Ketika matriks atau anggota dari berbagai aljabar asosiatif lainnya dikalikan, darab biasanya tergantung pada urutan faktor. Perkalian matriks, misalnya, bukan komutatif, demikian juga perkalian dalam aljabar lain secara umum.

Ada banyak jenis darab dalam matematika: selain dapat mengalikan bilangan saja, polinomial atau matriks, apabila mendefinisikan produk pada banyak struktur aljabar yang berbeda.

Darab dari dua bilangan[sunting | sunting sumber]

Darab dari dua bilangan asli[sunting | sunting sumber]

3 kali 4 adalah 12

Menempatkan beberapa batu ke dalam pola persegi panjang dengan baris dan kolom memberikan

Darab dari dua bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. Darab ditentukan oleh darab dari jumlah positif mereka, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

Kaidah ini merupakan konsekuensi yang diperlukan dari menuntut distributivitas perkalian terhadap penjumlahan, dan bukan merupakan kaidah tambahan.

Dengan kata-kata, kita memiliki:

  • Minus kali Minus memberi Plus
  • Minus kali Plus memberi Minus
  • Plus kali Minus memberi Minus
  • Plus kali Plus memberi Plus

Perkalian dua pecahan[sunting | sunting sumber]

Dua pecahan apabila dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya, adalah:

Darab dua bilangan real[sunting | sunting sumber]

Untuk definisi yang tepat dari darab dua bilangan real, lihat Konstruksi bilangan real.

Rumus

Teorema[1] — Misalkan a > 0 dan b > 0. Jika 1 < p < ∞ dan q := pp - 1 maka

ab = min0 < t < ∞ tp app + t- q bqq.
Bukti[1] —

Tentukan fungsi bernilai real f pada bilangan real positif dengan

f (t) := tp app + tq bqq

untuk setiap t > 0 lalu hitung minimumnya.

Darab dari dua bilangan kompleks[sunting | sunting sumber]

Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa , sebagai berikut:

Makna geometris dari perkalian kompleks[sunting | sunting sumber]

Bilangan kompleks dalam koordinat polar.

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam koordinat polar:

Selain itu,

apabila memperoleh

Arti geometris adalah bahwa besaran dikalikan dan argumen ditambahkan.

Darab dari dua kuaternion[sunting | sunting sumber]

Produk dari dua quaternions dapat ditemukan di artikel quaternions. Perhatikan, dalam hal ini, bahwa dan secara umum berbeda.

Darab barisan[sunting | sunting sumber]

Operator perkalian untuk darab barisan dilambangkan dengan huruf Yunani kapital pi (dalam analogi penggunaan huruf kapital Sigma sebagai simbol penjumlahan).[2][3] Misalnya, ekspresi adalah cara lain untuk menulis .[4]

Darab dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan adalah bilangan-diri; darab dari tidak ada faktor sama sekali dikenal sebagai darab kosong, dan sama dengan 1.

Gelanggang komutatif[sunting | sunting sumber]

Gelanggang komutatif memiliki operasi darab.

Kelas residu bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Kelas residu di gelanggang dapat ditambahkan:

dan dikalikan:

Konvolusi[sunting | sunting sumber]

Konvolusi gelombang persegi dengan sendiri memberikan fungsi segitiga

Dua fungsi dari real ke sendiri apabila dikalikan dengan cara lain, yang disebut konvolusi.

Jika

maka integralnya

didefinisikan dengan rapi dan disebut konvolusi.

Dibawah transformasi Fourier, konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-lawan.

Gelanggang polinomial[sunting | sunting sumber]

Darab dari dua polinomial diberikan oleh yang berikut:

dengan

Darab dalam aljabar linear[sunting | sunting sumber]

Ada banyak jenis produk dalam aljabar linear. Beberapa diantaranya memiliki nama yang mirip (darab luar (outer), darab luar (eksterior)) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (darab luar, darab tensor, darab Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Penjelasan singkat tentang ini diberikan di bagian berikut:

Perkalian skalar[sunting | sunting sumber]

Dengan definisi ruang vektor, apabila produk skalar dengan vektor, diberikan peta .

Darab skalar[sunting | sunting sumber]

Darab skalar adalah peta bi-linear:

dengan ketentuan sebagai berikut, bahwa untuk semua .

Dari produk skalar, apabila mendefinisikan norma dengan .

Darab skalar juga memungkinkan untuk menentukan sudut antara dua vektor:

Dalam ruang Euklidean dimensi-, darab skalar standar (disebut darab titik) diberikan oleh:

Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi[sunting | sunting sumber]

Perkalian silang dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus terhadap dua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajar genjang yang direntang oleh dua faktor.

Perkalian silang juga dinyatakan sebagai formal[a] determinan:

Komposisi pemetaan linear[sunting | sunting sumber]

Pemetaan linear didefinisikan sebagai fungsi f antara dua ruang vektor V dan W dengan bidang dasar F, yang memenuhi[5]

Jika hanya mempertimbangkan ruang vektor dimensi hingga, maka

dimana bV dan bW menunjukkan basis dari V dan W, dan vi menunjukkan komponen dari v pada bVi, dan konvensi penjumlahan Einstein diterapkan.

Sekarang kita mempertimbangkan komposisi dua pemetaan linear antara ruang vektor dimensi hingga. Biarkan pemetaan linier f memetakan V ke W, dan pemetaan linear g memetakan W ke U. Apabila jika bisa mendapatkan

Atau dalam bentuk matriks:

di mana elemen kolom i-baris, j-kolom F, dilambangkan dengan Fij, adalah fji, dan Gij=gji.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear diwakilan dengan cara yang sama oleh kaidah perkalian matriks.

Darab dari dua matriks[sunting | sunting sumber]

Diberikan dua matriks

dan

darab diberikan oleh

Komposisi fungsi linear sebagai darab matriks[sunting | sunting sumber]

Ada hubungan antara komposisi fungsi linear dan darab dua matriks. Untuk melihat ini, misalkan r = redup(U), s = redup(V) dan t = redup(W) adalah dimensi (hingga) dari ruang vektor U, V dan W. Maka menjadi basis dari U, menjadi basis dari V dan menjadi basis dari W. Dalam hal dasar ini, mari menjadi matriks yang mewakili f : U → V dan menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Maka

adalah matriks yang mewakili .

Dengan kata lain: darab matriks adalah deskripsi dalam koordinat komposisi fungsi linear.

Darab tensor dari ruang vektor[sunting | sunting sumber]

Diberikan dua ruang vektor berdimensi hingga V dan W, hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai tensor-(2,0) yang memenuhi:

dimana V* dan W* menunjukkan ruang ganda dari V dan W.[6]

Untuk ruang vektor dimensi tak hingga, satu juga memiliki:

Darab tensor, darab luar dan darab Kronecker semuanya menyampaikan ide umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa darab Kronecker hanyalah darab tensor dari matriks, hubungan dengan basis yang ditetapkan sebelumnya, sedangkan darab tensor biasanya diberikan dalam definisi intrinsik. Darab luar hanyalah darab Kronecker, hingga pada vektor (bukan matriks).

Kelas semua objek dengan darab tensor[sunting | sunting sumber]

Secara umum, setiap memiliki dua objek matematis yang digabungkan sedemikian rupa sehingga perilaku seperti darab tensor aljabar linear, maka ini dipahami secara umum sebagai darab internal dari kategori monoid. Artinya, kategori monoidal menangkap secara tepat arti dari darab tensor; itu menangkap dengan tepat gagasan mengapa darab tensor perilaku. Lebih tepatnya, kategori monoid adalah kelas dari semua hal (dari tipe) yang memiliki darab tensor.

Darab lain dalam aljabar linear[sunting | sunting sumber]

Jenis darab lain dalam aljabar linear meliputi:

Darab Kartesius[sunting | sunting sumber]

Dalam teori himpunan, darab Kartesius adalah operasi matematika yang mengembalikan himpunan (atau himpunan darab) dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan A dan B, darab Kartesius A × B adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b)—dimana a ∈ A dan b ∈ B.[7]

Kelas semua benda (dari jenis tertentu) yang memiliki darab Kartesius disebut kategori Kartesius. Banyak diantaranya adalah Kategori tertutup Kartesius. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

Darab kosong[sunting | sunting sumber]

Darab kosong pada bilangan dan sebagian besar struktur aljabar bernilai 1 (elemen identitas perkalian), sama seperti jumlah kosong memiliki nilai 0 (elemen identitas tambahan). Namun, konsep dara kosong lebih umum, dan memerlukan perlakuan khusus dalam logika, teori himpunan, pemrograman komputer dan teori kategori.

Darab atas struktur aljabar lainnya[sunting | sunting sumber]

Darab atas jenis struktur aljabar lainnya meliputi:

Beberapa darab atas adalah contoh gagasan umum tentang darab internal dalam kategori monoid; sisanya dapat dijelaskan dengan gagasan umum tentang darab dalam teori kategori.

Darab dalam teori kategori[sunting | sunting sumber]

Semua contoh sebelumnya adalah kasus khusus atau contoh pengertian umum dari suatu darab. Untuk perlakuan umum pada konsep darab, lihat darab (teori kategori), yang menjelaskan cara menggabungkan dua objek dari beberapa jenis untuk membuat objek, mungkin dari jenis yang berbeda. Namun juga, dalam teori kategori, apabila memiliki:

Darab lainnya[sunting | sunting sumber]

  • Sebuah darab integral yang sebagai fungsi ekuivalen kontinu dengan produk barisan atau sebagai versi perkalian dari integral normal/standar/aditif. Darab integral juga dikenal sebagai "darab kontinu" atau "kali".
  • Perkalian kompleks, teori kurva eliptik.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Di sini, "formal" berarti bahwa notasi ini memiliki bentuk determinan, tetapi tidak secara ketat memenuhi definisi; itu adalah mnemonik yang digunakan untuk mengingat perluasan perkalian silang.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Jarchow 1981, hlm. 47-55.
  2. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  3. ^ a b Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16. 
  4. ^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  5. ^ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. hlm. 9–10. ISBN 1447148207. 
  6. ^ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometryPerlu mendaftar (gratis) (edisi ke-ke-2). Orlando: Academic Press. hlm. 200. ISBN 0080874398. 
  7. ^ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (edisi ke-2nd). New York: Springer. hlm. 13. ISBN 0387316094. 

Bibliografi[sunting | sunting sumber]