Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.
Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.
Notasi untuk diferensiasi yang umum digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.
Notasi Newton untuk turunan
adalah notasi untuk turunan pertama.
adalah notasi untuk turunan kedua.
adalah notasi untuk turunan ke-n.
adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada
.
Notasi Leibniz untuk turunan
adalah notasi untuk turunan pertama.
adalah notasi untuk turunan kedua.
adalah notasi untuk turunan ke-n.
adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada
.
Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada Mekanika klasik adalah
dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (
), dan
dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu (
).
Dalam kalkulus, notasi Leibniz, dinamakan untuk menghormati filsuf dan matematikawan Jerman abad ke-17 Gottfried Leibniz, menggunakan simbol dx dan dy untuk melambangkan pertambahan "kecil takhingga" (atau infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana Δx dan Δy melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Untuk y sebagai fungsi dari x

turunan y terhadap x, yang kemudian dipandang sebagai

adalah, menurut Leibniz, hasil bagi dari pertambahan kecil takhingga dari y oleh pertambahan kecil takhingga x, atau

dengan ruas kanan adalah notasi Lagrange untuk turunan f di x.
Meskipun sekarang matematikawan memandang integral

sebagai limit

dengan Δx adalah selang yang mengandung xi, Leibniz memandangnya sebagai jumlahan (lambang integral menandakan penjumlahan) kuantitas infinitesimal yang banyaknya takhingga f(x) dx.
Salah satu kelebihan sudut pandang Leibniz adalah kesesuaiannya dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, dalam notasi Leibniz, turunan kedua (menggunakan penurunan implisit) adalah

dan memiliki satuan dimensi yang sama dengan
.[1]
Kemiringan fungsi linear

Dalam hal ini, y = f ( x ) = mx + b, untuk bilangan riil m dan b dan kemiringan m diberikan oleh

Apa itu simbol ∆ adalah singkatan untuk perubahan.
Rumus di atas berlaku karena

Hasilnya adalah

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.
Gambar 2. The
secant to curve
y=
f(
x) determined by points (
x,
f(
x)) and
(x + h, f(x + h)) Figure 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong
Linearitas


Aturan produk

Dalil rantai

Sifat umum lain



Dimana fungsi
dan
adalah fungsi satu variabel
.










- Invers






- Hiperbolik






- NB
- hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.
- Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva
di titik
!


masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)



- Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva
di titik
!


masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

karena tegak lurus maka nilai mt


persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)





- Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari
ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
- biaya dalam 1 hari

- biaya dalam x hari


biaya minimum tercapai saat turunannya = 0



hari
- Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar
ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?
- laba = total penjualan - total biaya
- laba


laba maksimum tercapai saat turunannya = 0






ribu rupiah
- Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
- Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y


- hasil kali:



nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0





karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x


- nilai terbesar hasil kali:

- ^ Perhatikan bahwa
adalah notasi ringkas untuk
, atau, dalam kata lain diferensial kedua dari y terhadap kuadrat dari diferensial pertama dari x. Penyebut bukanlah diferensial dari x2, atau diferensial kedua dari x.