Turunan

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (generalisasi) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk diferensiasi Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Diferensiasi implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Penjumlahan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Daftar integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi contour Integrasi secara parsial disk cangkang silindris substitusi (trigonometrik) pecahan parsial Order Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik alternating pangkat Binomial Taylor Tes konvergensi elemen (term) rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret berseling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Curl Laplacian direksional identitas Teorema Divergensi Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme Matriks Tensor Eksterior Geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Integral permukaan Integral volume Jacob Hesse
Khusus Fraksional Malliavin Stokastik Variasi

Artikel ini berisi uraian tentang istilah yang digunakan dalam kalkulus. Untuk ulasan teknis, baca artikel kalkulus diferensial. Untuk kegunaan lainnya, baca artikel Turunan (disambiguasi).

Grafik fungsi (warna hitam) dan garis tangen pada fungsi (warna merah). Kemiringan dari garis tangen sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut.

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah operasi dasar dalam kalkulus.

Notasi turunan

Notasi untuk diferensiasi yang umum digunakan untuk menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.

Notasi Newton untuk turunan

• $y'$ adalah notasi untuk turunan pertama.
• $y''$ adalah notasi untuk turunan kedua.
• $f^{(n)}$ adalah notasi untuk turunan ke-n.
• $f^{(n)}(a)$ adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke-n pada $a$.

Notasi Leibniz untuk turunan

• ${\frac {dy}{dx}}\,$ adalah notasi untuk turunan pertama.
• ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,$adalah notasi untuk turunan kedua.
• ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$adalah notasi untuk turunan ke-n.
• $\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}$adalah notasi untuk nilai fungsi turunan ke - n pada $a$.

Selain kedua notasi tersebut terdapat notasi lain untuk turunan. Notasi lain yang sering digunakan pada Mekanika klasik adalah

${\dot {x}}$ dengan satu titik diatas fungsi menandakan bahwa turunan pertama terhadap waktu (${\frac {d}{dt}}$), dan ${\ddot {x}}$ dua titik untuk turunan kedua terhadap waktu (${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$).

Turunan umum

Sifat - sifat turunan

Linearitas

• ${\frac {d}{dx}}(u+v)=u'+v'\,$
• ${\frac {d}{dx}}(nu)=n{\frac {du}{dx}}\,$

Aturan produk

• ${\frac {d}{dx}}(uv)=u'v+uv'\,$

Dalil rantai

• ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {dv}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}\,$

Sifat umum lain

• ${\frac {d}{dx}}({\frac {u}{v}})={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(u^{n})=nu^{n-1}\cdot {\frac {du}{dx}}$

Dimana fungsi $u$ dan $v$ adalah fungsi satu variabel $x$.

Eksponen dan bilangan natural

• ${\frac {d}{dx}}(e^{x})=e^{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}\ln {a}\,$

Logaritma dan bilangan natural

• ${\frac {d}{dx}}(\ln {x})={\frac {1}{x}}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\log _{a}{x})={\frac {1}{x\ln {a}}}\,$

Trigonometri

• ${\frac {d}{dx}}(\sin {x})=\cos {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\cos {x})=-\sin {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\tan {x})=\sec ^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\cot {x})=-\csc ^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\sec {x})=\sec {x}\tan {x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\csc {x})=-\csc {x}\cot {x}\,$

Invers

• ${\frac {d}{dx}}(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

• ${\frac {d}{dx}}(\arccos x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccot} x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
• ${\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsc} x)={\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Hiperbolik

• ${\frac {d}{dx}}(\sinh {x})=\cosh {x}\,$

• ${\frac {d}{dx}}(\cosh {x})=\sinh {x}\,$

• ${\frac {d}{dx}}(\tanh {x})={\text{sech}}^{2}\,{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}(\coth {x})=-{\text{csch}}^{2}{x}\,$
• ${\frac {d}{dx}}({\text{sech}}\,{x})={\text{sech}}\,{x}\tanh {x}$
• ${\frac {d}{dx}}{{\text{csch}}\,{x}}=-{\text{csch}}\,{x}\coth {x}$

Contoh soal dalam aplikasi turunan

NB

hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.

• Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva $y=x^{3}+2x^{2}-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^{3}+2x^{2}-5x$

$m=y'=3x^{2}+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

$y-(-2)=2(x-1)$

$y=2x-4$

• Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva $y=x^{3}+2x^{2}-5x$ di titik $(1,-2)$!

$y=x^{3}+2x^{2}-5x$

$m=y'=3x^{2}+4x-5$

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

$m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2$

karena tegak lurus maka nilai m_t

$m_{t}=-{\frac {1}{m}}$

$m_{t}=-{\frac {1}{2}}$

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

$y-y_{1}=m_{t}(x-x_{1})$

$y-(-2)=-{\frac {1}{2}}(x-1)$

$2(y+2)=-x+1$

$2y+4=-x+1$

$2y=-x-3$

• Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari $3x-900+{\frac {120}{x}}$ ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?

biaya dalam 1 hari $B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}$

biaya dalam x hari $B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})$

$B(x)=3x^{2}-900x+120$

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

$B'(x)=0$

$B'(x)=6x-900=0$

$6x=900$

$x=150$ hari

• Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar $75+2x+0,1x^{2}$ ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?

laba = total penjualan - total biaya

laba $L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})$

$L(x)=-75+38x-0,1x^{2}$

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

$L'(x)=0$

$L'(x)=38-0,2x=0$

$0,2x=38$

$x=190$

$L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}$

$L(190)=-75+7,220-3,610$

$L(190)=3,535$ ribu rupiah

• Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?

Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y

$x+y^{2}=75$

$x=75-y^{2}$

hasil kali: $f(y)=x\cdot y$

$f(y)=(75-y^{2})\cdot y$

$f(y)=75y-y^{3}$

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

$f'(y)=0$

$f'(y)=75-3y^{2}=0$

$3y^{2}=75$

$y^{2}=25$

$y_{1}=5atauy_{2}=-5$

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

$x=75-(5)^{2}$

$x=50$

nilai terbesar hasil kali: $50\cdot 5=250$

Lihat pula

• Tabel turunan
• Integral