1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari
15.000 jumlah parsial pertama dari 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ...

Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· adalah deret tak hingga yang suku-sukunya berupa bilangan bulat positif berurutan makin besar serta bernilai positif dan negatif secara selang-seling. Dengan notasi jumlah sigma, jumlah suku pertama m dapat dijabarkan menjadi

Penjumlahan dari n sama dengan 1 sampai m seri n * (-1)^(n-1)

Deret tak hingga bersifat menyempit (divergen), artinya barisan jumlah parsialnya, (1, −1, 2, −2, ...), cenderung tidak punya batas terhingga apapun.[1][2] Namun pada abad ke-18, Leonhard Euler menulis sesuatu yang ia akui sebagai suatu persamaan paradoks:[3]

1-2+3-4+...=1/4

Penjelasan yang lebih teliti mengenai persamaan ini baru muncul kemudian. Sejak 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel, dan ilmuwan lainnya mencari metode yang terdefinisikan dengan jelas untuk menerapkan penjumlahan umum pada deret divergen—termasuk penafsiran baru mengenai metode-metode Euler.[4][5] Banyak metode keterjumlahan (summability) yang dengan mudahnya menerapkan "jumlah" 14 pada 1 − 2 + 3 − 4 + .... Penjumlahan Cesàro adalah satu dari sedikit sekali metode yang tidak menjumlahkan 1 − 2 + 3 − 4 + ..., dan deret tersebut menjadi contoh perlunya suatu metode yang agak lebih kuat seperti penjumlahan Abel.

Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... sangat terkait dengan deret Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euler menyebut keduanya sebagai kasus istimewa 1 − 2n + 3n − 4n + ... untuk n arbitrer, yaitu rangkaian penelitian yang memperluas hasil penelitiannya tentang masalah Basel dan mengarah pada persamaan fungsi yang kita kenal sebagai fungsi eta Dirichlet dan the fungsi zeta Riemann.[6]

Referensi[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Hardy (1949), hlm. 8
  2. ^ Beals (2004), hlm. 23
  3. ^ Euler et al. (1768), hlm. 2.
  4. ^ Ferraro (1999), hlm. 130.
  5. ^ Weidlich (1950), hlm. 59
  6. ^ Euler et al., hlm. 20–25.

Daftar pustaka[sunting | sunting sumber]