Konstanta Apéry

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Biner 1.0011001110111010
Desimal 1.2020569031595942854…
Heksadesimal 1.33BA004F00621383
Pecahan lanjutan
Perhatikan bahwa pecahan lanjutan ini tidak terbatas, tetapi tidak diketahui apakah pecahan lanjutan ini berkala atau bukan.

Dalam matematika, di persimpangan teori bilangan dan fungsi khusus, Konstanta Apéry adalah jumlah dari kebalikan dari kubus positif. Artinya, ini didefinisikan sebagai angka

dimana ζ adalah fungsi Riemann zeta. Ini memiliki nilai perkiraan[1]

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292 (barisan A002117 pada OEIS).

konstanta dinamai Roger Apéry. Ini muncul secara alami dalam sejumlah masalah fisik, termasuk dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron menggunakan elektrodinamika kuantum. Ini juga muncul dalam analisis pohon rentang minimum acak[2] dan dalam hubungannya dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi yang kadang-kadang muncul dalam fisika, misalnya ketika mengevaluasi kasus dua dimensi model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

Bilangan irasional[sunting | sunting sumber]

ζ(3) dinamai Konstanta Apéry setelah ahli matematika Prancis Roger Apéry, yang membuktikan pada tahun 1978 bahwa itu adalah bilangan irasional.[3] Hasil ini dikenal sebagai Teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,[4] dan bukti yang lebih sederhana ditemukan kemudian.[5][6]

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integral dari integral rangkap tiga yang diketahui ,

oleh polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten mencatat pendekatan ini dengan mencatat hal itu

dimana , adalah polinomial Legendre, dan urutan adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat.

Masih belum diketahui apakah konstanta Apéry adalah transendental.

Representasi deret[sunting | sunting sumber]

Klasik[sunting | sunting sumber]

Selain deret fundamental:

Leonhard Euler memberikan representasi deret:[7]

pada 1772, yang kemudian ditemukan kembali beberapa kali.[8]

Representasi deret klasik lainnya termasuk:

Konvergensi cepat[sunting | sunting sumber]

Sejak abad ke-19, sejumlah ahli matematika telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung tempat desimal ζ(3). Sejak tahun 1990-an, pencarian ini telah difokuskan pada rangkaian yang efisien secara komputasi dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi seri berikut ditemukan oleh A.A. Markov pada tahun 1890[9], rediscovered by Hjortnaes in 1953,[10] dan ditemukan kembali sekali lagi dan diiklankan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:[3]

Representasi seri berikut, ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996,[11] memberikan (tanpa gejala) 1,43 tempat desimal baru yang benar per suku:

Representasi seri berikut, ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997,[12] memberikan (tanpa gejala) 3,01 tempat desimal baru yang benar per suku:

Representasi seri berikut, ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998,[13] memberikan (tanpa gejala) 5,04 tempat desimal baru yang benar per suku:

Ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapa juta tempat desimal yang benar.[14]

Representasi deret berikut, ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005,[15] gives (asymptotically) 3.92 new correct decimal places per term:

Digit demi digit[sunting | sunting sumber]

Pada tahun 1998, Broadhurst[16] memberikan representasi seri yang memungkinkan digit biner sembarang untuk dihitung, dan dengan demikian, untuk konstanta yang akan diperoleh di hampir waktu linier, dan ruang logaritma.

Lainnya[sunting | sunting sumber]

Representasi rangkaian berikut ditemukan oleh Ramanujan:[17]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:[18]

Srivastava[19] mengumpulkan banyak seri yang menyatu dengan konstanta Apéry.

Representasi integral[sunting | sunting sumber]

Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Beberapa di antaranya sederhana, yang lainnya lebih rumit.

Rumus sederhana[sunting | sunting sumber]

Sebagai contoh, berikut ini dari representasi penjumlahan untuk konstanta Apéry:

.

Dua berikutnya mengikuti langsung dari rumus integral terkenal untuk fungsi Riemann zeta:

dan

.

Yang ini mengikuti dari ekspansi Taylor χ3(eix) tentang x = ±π2, dimana χν(z) adalah fungsi Legendre chi:

Perhatikan kesamaannya dengan

dimana G adalah Konstanta Catalan.

Rumus yang lebih rumit[sunting | sunting sumber]

Contohnya, satu rumus ditemukan oleh Johan Jensen:[20]

,

lainnya oleh F. Beukers:[5]

,

Dengan mencampurkan kedua rumus ini, seseorang dapat memperoleh:

,

By symmetry,

,

Summing both, .

Satu lagi oleh Iaroslav Blagouchine:[21]

.

Evgrafov et al.'s connection to the derivatives of the gamma function

juga sangat berguna untuk penurunan berbagai representasi integral melalui rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligami.[22]

Digit yang diketahui[sunting | sunting sumber]

Jumlah digit konstanta Apéry yang diketahui ζ(3) has meningkat secara dramatis selama beberapa dekade terakhir. Ini disebabkan oleh peningkatan kinerja komputer dan peningkatan algoritme.

Jumlah digit desimal konstanta Apéry yang diketahui ζ(3)
Date Angka desimal Perhitungan dilakukan oleh
1735 16 Leonhard Euler
unknown 16 Adrien-Marie Legendre
1887 32 Thomas Joannes Stieltjes
1996 520.000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 1.000.000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
Mei 1997 10.536.006 Patrick Demichel
Februari 1998 14.000.074 Sebastian Wedeniwski
Maret 1998 32.000.213 Sebastian Wedeniwski
Juli 1998 64.000.091 Sebastian Wedeniwski
Desember 1998 128.000.026 Sebastian Wedeniwski[1]
September 2001 200.001.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2002 600.001.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2003 1.000.000.000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon[23]
April 2006 10.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Januari 21, 2009 15.510.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[24]
Februari 15, 2009 31.026.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[24]
September 17, 2010 100.000.001.000 Alexander J. Yee[25]
September 23, 2013 200.000.001.000 Robert J. Setti[25]
Agustus 7, 2015 250.000.000.000 Ron Watkins[25]
Desember 21, 2015 400.000.000.000 Dipanjan Nag[26]
Agustus 13, 2017 500.000.000.000 Ron Watkins[25]
Mei 26, 2019 1.000.000.000.000 Ian Cutress[27]
Juli 26, 2020 1.200.000.000.100 Seungmin Kim[28][29]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b See Wedeniwski 2001.
  2. ^ Lihat Frieze 1985.
  3. ^ a b See Apéry 1979.
  4. ^ See van der Poorten 1979.
  5. ^ a b See Beukers 1979.
  6. ^ See Zudilin 2002.
  7. ^ See Euler 1773.
  8. ^ See Srivastava 2000, p. 571 (1.11).
  9. ^ See Markov 1890.
  10. ^ See Hjortnaes 1953.
  11. ^ See Amdeberhan 1996.
  12. ^ See Amdeberhan & Zeilberger 1997.
  13. ^ See Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan formula ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. The discovery year (1998) is mentioned in Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).
  14. ^ See Wedeniwski 1998 and Wedeniwski 2001.
  15. ^ See Mohammed 2005.
  16. ^ See Broadhurst 1998.
  17. ^ See Berndt 1989, chapter 14, formulas 25.1 and 25.3.
  18. ^ See Plouffe 1998.
  19. ^ See Srivastava 2000.
  20. ^ See Jensen 1895.
  21. ^ See Blagouchine 2014.
  22. ^ See Evgrafov et al. 1969, exercise 30.10.1.
  23. ^ See Gourdon & Sebah 2003.
  24. ^ a b See Yee 2009.
  25. ^ a b c d See Yee 2017.
  26. ^ See Nag 2015.
  27. ^ "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019. 
  28. ^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal August 10, 2020. 
  29. ^ "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diakses tanggal July 28, 2020. 

Referensi[sunting | sunting sumber]

Kredit[sunting | sunting sumber]

Templat:PlanetMath attribution