Himpunan lonjong

Dalam matematika, himpunan lonjong ^[1]^[2] (disebut pula himpunan basis^[1] atau himpunan berakar^[3] ) adalah pasangan terurut $(X,x_{0})$ dimana $X$ adalah satu himpunan dan $x_{0}$ adalah elemen dari $X$ disebut titik dasar,^[2] dieja sebagai titikdasar.^[4]^:10–11

Peta antara himpunan lonjong $(X,x_{0})$ dan $(Y,y_{0})$ (disebut sebagai peta basis,^[5] peta lonjong,^[4] atau peta preserving titik^[6]) adalah fungsi dari $X$ untuk $Y$ dengan memetakan satu titik dasar ke titik lainnya, yaitu peta $f\colon X\to Y$ dengan $f(x_{0})=y_{0}$ . Dilambangkan dengan

f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})

.

Himpunan lonjong adalah struktur aljabar sederhana. Dalam pengertian aljabar universal, himpunan lonjong adalah himpunan $X$ dengan satu operasi nullari $*:X^{0}\to X,$ memiliki titik dasar.^[7] Peta lonjong adalah homomorfisme dari struktur aljabar.

Kelas dari semua himpunan lonjong dengan kelas dari semua peta berbasis membentuk sebuah kategori. Dalam kategori ini hmpunan singleton lonjong $(\{a\},a)$ adalah objek awal dan objek terminal,^[1] yaitu objek nol.^[4]^:226 Terdapat funktor setia dari himpunan menunjuk ke himpunan biasa, tetapi tidak lengkap dan kategori ini tidak ekuivalen.^[8]^:44 Secara khusus, himpunan kosong bukanlah himpunan lonjong karena tidak memiliki elemen yang dapat dipilih sebagai titik dasar.^[9]

Kategori himpunan lonjong dan peta rbasis ekuivalen dengan kategori himpunan dan fungsi parsial.^[6] Satu buku teks mencatat bahwa "Penyelesaian formal himpunan dan peta parsial dengan menambahkan 'tidak tepat', elemen 'tak hingga' diciptakan kembali berkali-kali, khususnya, dalam topologi (kompalikasi satu titik) dan dalam ilmu komputer teoretis."^[10]

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong isomorfik dengan kategori coslice $\mathbf {1} \downarrow \mathbf {Himpunan}$ , dimana $\mathbf {1}$ adalah satu set tunggal.^[11]^:46^[12] Bertepatan dengan karakterisasi aljabar, karena peta unik $\mathbf {1} \to \mathbf {1}$ memperluas segitiga komutatif yang mendefinisikan panah dari kategori coslice untuk membentuk kotak komutatif dengan mendefinisikan homomorfisme aljabar.

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong memiliki kedua produk dan koproduk, tapi itu bukan kategori distributif. Merupakan contoh kategori di mana $0\times A$ tidak isomorfik untuk $0$ .^[9]

Banyak struktur aljabar merupakan himpunan lonjong dengan cara trivial. Misalnya, grup adalah himpunan lonjong dengan elemen identitas sebagai titik dasar, sehingga grup homomorfisme merupakan peta yang mempertahankan titik.^[13]^:24 Pengamatan ini dapat dinyatakan kembali dalam istilah teoretis kategori sebagai keberadaan fungsi fogertful dari grup ke himpunan lonjong.^[13]^:582

Himpunan lonjong dapat dilihat sebagai ruang lonjong bawah topologi diskrit atau sebagai ruang vektor atas bidang dengan satu elemen.^[14]

Sebagai "himpunan akar", gagasan tersebut secara alami muncul dalam studi antimatroid^[3] dan politopes transportasi.^[15]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Aksesibel graf lonjong – konsep dasar dalam teori himpunan
Ekstensi Alexandroff – konsep dasar dalam teori himpunan
Ekstensi garis bilangan riil – konsep dasar dalam teori himpunan
Bola Riemann – konsep dasar dalam teori himpunan

Referensi[sunting | sunting sumber]

Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (edisi ke-2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.

^ ^a ^b ^c Mac Lane (1998) p.26
^ ^a ^b Grégory Berhuy (2010). An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series. 377. Cambridge University Press. hlm. 34. ISBN 0-521-73866-0. Zbl 1207.12003.
^ ^a ^b Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991), Greedoids, Algorithms and Combinatorics, 4, New York, Berlin: Springer-Verlag, chapter 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl 0733.05023
^ ^a ^b ^c Joseph Rotman (2008). An Introduction to Homological Algebra (edisi ke-2nd). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9.
^ Maunder, C. R. F. (1996), Algebraic Topology, Dover, hlm. 31 .
^ ^a ^b Lutz Schröder (2001). "Categories: a free tour". Dalam Jürgen Koslowski; Austin Melton. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. hlm. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.
^ Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). American Mathematical Soc. hlm. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.
^ J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine.
^ ^a ^b F. W. Lawvere; Stephen Hoel Schanuel (2009). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. hlm. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.
^ Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). A Course in Mathematical Logic for Mathematicians. Springer Science & Business Media. hlm. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
^ J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine.
^ Francis Borceux; Dominique Bourn (2004). Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Springer Science & Business Media. hlm. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.
^ ^a ^b Paolo Aluffi (2009). Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4781-7.
^ Haran, M. J. Shai (2007), "Non-additive geometry" (PDF), Compositio Mathematica, 143 (3): 618–688, MR 2330442 . On p. 622, Haran writes "We consider $\mathbb {F}$ -vector spaces as finite sets $X$ with a distinguished 'zero' element..."
^ Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. "Facets and vertices of transportation polytopes". Dalam George Bernard Dantzig. Mathematics of the Decision Sciences. Part 1. American Mathematical Soc. ASIN B0020145L2. OCLC 859802521.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Kemunduran dalam Kategori Himpunan dan Fungsi Parsial
Himpunan lonjong di PlanetMath.
Objek lonjong

[Mac262-1] Mac Lane (1998) p.26

[Berhuy-2] Grégory Berhuy (2010). An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series. 377. Cambridge University Press. hlm. 34. ISBN 0-521-73866-0. Zbl 1207.12003.

[Greedoids2-3] Korte, Bernhard; Lovász, László; Schrader, Rainer (1991), Greedoids, Algorithms and Combinatorics, 4, New York, Berlin: Springer-Verlag, chapter 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl 0733.05023

[Rotman20083-4] Joseph Rotman (2008). An Introduction to Homological Algebra (edisi ke-2nd). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9.

[5] Maunder, C. R. F. (1996), Algebraic Topology, Dover, hlm. 31 .

[KoslowskiMelton20012-6] Lutz Schröder (2001). "Categories: a free tour". Dalam Jürgen Koslowski; Austin Melton. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. hlm. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[LaneBirkhoff1999-7] Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). American Mathematical Soc. hlm. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.

[joy-8] J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine.

[LawvereSchanuel20092-9] F. W. Lawvere; Stephen Hoel Schanuel (2009). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. hlm. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.

[KoblitzZilber2009-10] Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). A Course in Mathematical Logic for Mathematicians. Springer Science & Business Media. hlm. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.

[joy2-11] J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine.

[BorceuxBourn2004-12] Francis Borceux; Dominique Bourn (2004). Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Springer Science & Business Media. hlm. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.

[Aluffi2009-13] Paolo Aluffi (2009). Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4781-7.

[14] Haran, M. J. Shai (2007), "Non-additive geometry" (PDF), Compositio Mathematica, 143 (3): 618–688, MR 2330442 . On p. 622, Haran writes "We consider $\mathbb {F}$ -vector spaces as finite sets $X$ with a distinguished 'zero' element..."

[15] Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. "Facets and vertices of transportation polytopes". Dalam George Bernard Dantzig. Mathematics of the Decision Sciences. Part 1. American Mathematical Soc. ASIN B0020145L2. OCLC 859802521.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]