Fungsi kontinu

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Topik dalam kalkulus

Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan

Integral

Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial

Fungsi kontinu dalam matematika adalah fungsi, yang bila dijelaskan secara intuitif, perubahan kecil dalam masukannya berakibat perubahan kecil pula pada keluaran. Bila tidak demikian, fungsi tersebut dikatakan diskontinu. Fungsi kontinu dengan fungsi invers kontinu pula disebut bikontinu. Gagasan intuitif kekontinuan dapat diberikan oleh pernyataan bahwa fungsi kontinu adalah fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis.

Kekontinuan fungsi merupakan salah satu konsep inti topologi.

Sebagai contoh fungsi kontinu, perhatikan fungsi h(t), yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t. Fungsi ini kontinu. Terdapat diktum dalam fisika klasik yang menyatakan bahwa di alam semuanya kontinu. Sebaliknya, jika M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, fungsi ini melompat ketika uang disimpan atau ditarik. Karena itu fungsi M(t) diskontinu.

Fungsi riil kontinu[sunting | sunting sumber]

Misalkan kita memiliki fungsi yang memetakan bilangan riil kepada bilangan riil, dengan domainnya merupakan suatu selang, seperti fungsi h dan M di atas. Fungsi seperti ini dapat dilambangkan dengan grafik dalam bidang Cartesius. Secara kasar dapat dikatakan fungsi tersebut kontinu bila grafik itu berupa kurva tunggal tidak terputus, tanpa "lubang" atau "lompatan"

Untuk lebih cermat, kita mengatakan bahwa fungsi f kontinu pada suatu titik c bila dua persyaratan berikut terpenuhi:

  • f(c) harus terdefinisi (c termasuk dalam domain f)
  • limit f(x) saat x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan ada, dan harus sama dengan f(c).

Kita menyebut fungsi tersebut kontinu di semua titik atau kontinu saja bila fungsi tersebut kontinu di semua elemen dalam domainnya. Lebih umum lagi, kita menyebut suatu fungsi kontinu dalam sebarang himpunan bagian dari domainnya bila fungsi tersebut kontinu di semua titik dalam himpunan bagian tersebut. Apabila kita mengatakan suatu fungsi kontinu, kita biasanya bermaksud bahwa fungsi tersebut kontinu untuk semua bilangan riil.

Definisi Cauchy untuk fungsi kontinu[sunting | sunting sumber]

Tanpa harus menggunakan konsep limit, kita dapat mendefinisikan kekontinuan fungsi riil sebagai berikut:

Perhatikan suatu fungsi f yang memetakan himpunan bilangan riil kepada himpunan bilangan riil lainnya, dan misalkan c adalah termasuk dalam domain f. Fungsi f dikatakan kontinu pada titik c bila pernyataan berikut berlaku: Untuk tiap bilangan ε > 0, seberapa pun kecilnya, terdapat suatu bilangan δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x dalam domain dengan c - δ < x < c + δ, nilai f(x) memenuhi:

 f(c) - \varepsilon < f(x) < f(c) + \varepsilon.\,

Dapat pula ditulis: bila himpunan bagian I, D dari R (himpunan bilangan riil), kekontinuan f : ID pada cI berartiuntuk semua ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua xI :

| x - c | < \delta \Rightarrow | f(x) - f(c) | < \varepsilon.

Definisi delta-epsilon untuk kekontinuan ini pertama kali diberikan oleh Cauchy.