Himpunan (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Notasi Himpunan[sunting | sunting sumber]

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Nama Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar S
Anggota himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a
Kelas Huruf tulisan tangan \mathcal{C}

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks

Notasi

\mathbb{N} \mathbb{Z} \mathbb{Q} \mathbb{R} \mathbb{C}

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol

Arti

\{ \} atau \varnothing Himpunan kosong
\cup Operasi gabungan dua himpunan
\cap Operasi irisan dua himpunan
\subseteq, \subset, \supseteq, \supset Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
A^C Komplemen
\mathcal{P}(A) Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

  • Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}
A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}
\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}
  • Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.
O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}
E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \and (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}
P = \{ p\, |\, p \mbox{ adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

A = \{ x\, |\, x \notin A\}

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong[sunting | sunting sumber]

Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

\varnothing = \{ \, \}

Relasi antar himpunan[sunting | sunting sumber]

Himpunan bagian[sunting | sunting sumber]

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

  • {apel, jeruk}
  • {jeruk, pisang}
  • {apel, mangga, pisang}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

 B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka \varnothing juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

\varnothing \subseteq A

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

A \subseteq A

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A

Superhimpunan[sunting | sunting sumber]

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

A \supseteq B \equiv B \subseteq A

Kesamaan dua himpunan[sunting | sunting sumber]

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B

atau

A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A

Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.

Himpunan Kuasa[sunting | sunting sumber]

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah \mathcal{P}(A).

Jika A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka \mathcal{P}(A):

 { { },
   {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
   {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
   {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
   {apel, jeruk, mangga, pisang} }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}

Kelas[sunting | sunting sumber]

Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\} adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, \mathcal{P}(A) adalah sebuah keluarga himpunan.

Contoh berikut, P = \{ \{a,\,b\}, c\} bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota c yang bukan himpunan.

Kardinalitas[sunting | sunting sumber]

Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan \{apel, jeruk, mangga, pisang\} adalah 4. Himpunan \{p, q, r, s\} juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.

Dua buah himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena dengan mudah kita membuat fungsi \{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\} yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Himpunan Denumerabel[sunting | sunting sumber]

Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan \mathbb{N}, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas \mathfrak{a}.

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n\,.

A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}

Himpunan Berhingga[sunting | sunting sumber]

Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas \mathfrak{a}, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

Himpunan Tercacah[sunting | sunting sumber]

Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.

Himpunan Non-Denumerabel[sunting | sunting sumber]

Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas \mathfrak{c}. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.

Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas \mathfrak{c}, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi).

Fungsi Karakteristik[sunting | sunting sumber]

Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}

Jika A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\} maka:

\chi_A(apel) = 1
\chi_A(durian) = 0
\chi_A(utara) = 0
\chi_A(pisang) = 1
\chi_A(singa) = 0

Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa \mathcal{P}(S) dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.

Representasi Biner[sunting | sunting sumber]

Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka:

 Himpunan                            Representasi Biner
 ----------------------------        -------------------
                                     a b c d e f g
 S = { a, b, c, d, e, f, g }   -->   1 1 1 1 1 1 1
 A = { a,    c,    e, f    }   -->   1 0 1 0 1 1 0
 B = {    b, c, d,    f    }   -->   0 1 1 1 0 1 0

Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.

Opersai dasar[sunting | sunting sumber]

Gabungan[sunting | sunting sumber]

Gabungan antara himpunan A dan B.

Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=AB setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B.

Contoh:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.

Beberapa sifat dasar gabungan:

  • AB = BA.
  • A ∪ (BC) = (AB) ∪ C.
  • A ⊆ (AB).
  • AA = A.
  • A ∪ ∅ = A.
  • AB jika and hanya jika AB = B.

Irisan[sunting | sunting sumber]

Irisan antara himpunan A dan B.

Operasi irisan AB setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika AB = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah).

Contoh:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
  • {Budi} ∩ {Dani} = ∅.

Beberapa sifat dasar irisan:

  • AB = BA.
  • A ∩ (BC) = (AB) ∩ C.
  • ABA.
  • AA = A.
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • AB jika and hanya jika AB = A.

Komplemen[sunting | sunting sumber]

Komplemen B terhadap A.
Komplemen A terhadap U.
Diferensi simetris himpunan A dan B.

Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.

Contoh:

  • {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
  • {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Beberapa sifat dasar komplemen:

  • A \ BB \ A untuk AB.
  • AA′ = U.
  • AA′ = ∅.
  • (A′)′ = A.
  • A \ A = ∅.
  • U′ = ∅ dan ∅′ = U.
  • A \ B = AB.

Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - B menghasilkan

A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).

Contohnya, diferensi simetris antara:

  • {7,8,9,10} dan {9,10,11,12} adalah {7,8,11,12}.
  • {Ana,Budi,Dedi,Felix} dan {Cici,Budi,Dedi,Ela} adalah {Ana,Cici,Ela,Felix}.

Hasil Kali Kartesian[sunting | sunting sumber]

Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

Contoh:

  • {1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.
  • {1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.
  • {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:

  • A × ∅ = ∅.
  • A × (BC) = (A × B) ∪ (A × C).
  • (AB) × C = (A × C) ∪ (B × C).
  • | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Referensi[sunting | sunting sumber]

Bacaan lanjutan[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]