Bilangan riil

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari
Simbol yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan bilangan riil

Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan  \sqrt2 . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik garis bilangan yang panjangnya tak terhingga.

Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting di abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedean unik yang keseluruhannya teratur lengkap (R ; + ; · ; <), sampai ke suatu isomorfisma,[2] sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "representasi desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmatika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik

Sifat-sifat[sunting | sunting sumber]

Aksioma medan[sunting | sunting sumber]

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.[1][3]. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

  • Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
  • Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
  • Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
  • Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
  • Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
  • Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan[sunting | sunting sumber]

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:[3]

  • Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
  • Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus
  • Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.
Garis bilangan takterhingga yang menggambarkan bilangan riil

Aksioma kelengkapan[sunting | sunting sumber]

  • Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Wrede, Robert; Murray R. Spiegel (2007). "Bilangan". Schaum Outlines:Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut. Penerbit Erlangga. hlm. 1–2. 
  2. ^ Lebih tepatnya, jika ada dua bidang yang keseluruhan teratur lengkap, maka ada suatu isomorfisma unik di antara keduanya. Di sini tersirat bahwa identitas dari otomorfisma bidang unik dari bilangan riil adalah kompatibel dengan penataan atau pengaturan.
  3. ^ a b Apostol, Tom (1967). Calculus Vol. 1 (ed. 2). John Wiley and Sons, Inc. hlm. 17–19. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]