Deret pangkat

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots.

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

Contoh[sunting | sunting sumber]

Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat c, meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial f(x) = x^2 + 2x + 3 dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat c=0 sebagai

f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

atau sekitar pusat c=1 sebagai

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

atau sesungguhnya sekitar pusat c manapun.[1] Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.

Rumus deret geometri

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

valid untuk |x|<1, merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial

 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

dan rumus sinus

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

valid untuk semua bilangan real x.

Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.

Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu deret Laurent). Demikian pula, pangkat pecahan seperti x^{1/2} tidak diizinkan (tetapi lihat deret Puiseux). Koefisien-koefisien a_n tidak diizinkan untuk bergantung kepada x, jadi misalnya:

\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \, bukan suatu deret pangkat.

Jari-jari konvergensi[sunting | sunting sumber]

Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel x dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat f(x) dalam pangkat (x-c) akan bersifat konvergen pada x = c. (Nilai yang benar f(c) = a0 membutuhkan penafsiran ekspresi 00 sama dengan 1.) Jika c bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan r di mana 0 < r ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |xc| < r dan divergen bilamana |xc| > r. Bilangan r disebut "jari-jari konvergensi" ("radius of convergence") suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:

r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}

atau, secara ekuivalen,

r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

Operasi pada deret pangkat[sunting | sunting sumber]

Penjumlahan dan pengurangan[sunting | sunting sumber]

Bilamana dua fungsi f dan g didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat c yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

maka

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

Perkalian dan pembagian[sunting | sunting sumber]

Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:

 f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Urutan m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} dikenal sebagai konvolusi urutan a_n dan b_n.

Untuk pembagian, perhatikan:

 {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n
 f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.

Diferensiasi dan integrasi[sunting | sunting sumber]

Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada interior ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.

Fungsi analitik[sunting | sunting sumber]

Sebuah fungsi f didefinisikan pada sejumlah subset terbuka U dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap aU mempunyai neighborhood terbuka VU, sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat a yang konvergen ke f(x) untuk setiap xV.

Deret pangkat formal[sunting | sunting sumber]

Dalam aljabar abstrak, diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bidang bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep deret pangkat formal, suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam kombinatorika aljabar.

Deret pangkat dalam beberapa variabel[sunting | sunting sumber]

Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan kalkulus multivariabel. Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk


f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

di mana j = (j1, ..., jn) adalah vektor bilangan asli; koefisien a(j1,...,jn) biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat c = (c1, ..., cn) serta argumen x = (x1, ..., xn) biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis


f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.

Tingkatan deret pangkat[sunting | sunting sumber]

Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkatf(x1, x2, …, xn). Tingkatan (order) dari deret pangkat f didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga aα ≠ 0, atau 0 jika f ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat f(x) dalam variabel tunggal x, tingkatan f adalah pangkat terkecil dari x dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke deret Laurent.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Howard Levi (1967). Polynomials, Power Series, and Calculus. Van Nostrand. hlm. 24. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]