Diferensial total

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Lompat ke: navigasi, cari

Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

Penjelasan[sunting | sunting sumber]

Mengikuti Goursat (1904, I, §15), untuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen,[1]

 y = f(x_1,\dots,x_n), \,

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x1 merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx1 dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

 \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1

melibatkan derivatif parsial y terhadap  x1. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

 dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n,

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen xi.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multivariabel, mengikuti Courant (1937ii), jika f adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka menurut definisi dapatnya suatu fungsi itu didiferensiasi, inkremen

\begin{align}
\Delta y &{}\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\
&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n
\end{align}

di mana elemen kesalahan (error term) ε i mendekati nol karena inkremen Δxi bergabung bersama mendekati nol. Jadi, diferensial total dapat secara ketat didefinisikan sebagai

dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

Pustaka[sunting | sunting sumber]