Kaidah darab

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Topik dalam kalkulus

Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan

Integral

Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial

Dalam kalkulus, kaidah darab (Bahasa Inggris: product rule), atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:

(fg)'=f'g+fg' \,

atau dalam notasi Leibniz:

{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.

Penemuan oleh Leibniz[sunting | sunting sumber]

Kaidah ini ditemukan oleh Gottfried Leibniz yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan diferensial. Argumen Leibniz adalah sebagai berikut: Jika u(x) dan v(x) adalah dua fungsi x yang terdiferensialkan. Maka diferensial dari uv adalah


\begin{align}
d(uv) & {} = (u + du)(v + dv) - uv \\
& {} = u\,dv + v\,du + du\,dv.
\end{align}

Oleh karena (du)(dv) adalah "dapat diabaikan" (i.e. paling tidak kuadratis pada du dan dv), Leibniz berkesimpula bahwa

d(uv) = v\,du + u\,dv \,

dan ini merupakan bentuk diferensial dari kaidah darab. Jika kita membaginya dengan dx, kita mendapatkan

\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)

yang dapat ditulis dengan "notasi prima" sebagai

(uv)' = v u' + u v'. \,

Pembuktian kaidah darab[sunting | sunting sumber]

Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat limit dan definisi turunan sebagai limit dari hasil bagi beda Newton.

Misalkan

 h(x) = f(x)g(x),\,

dan f and g masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap x. Maka

h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

Perbedaannya:

 f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)

adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan

Regladelproducte.png

Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:

 f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)

(Ilustrasi di atas tidak akan berlaku pada beberapa kasus khusus karena f(w) tidak seperlunya lebih besar dari f(x) dan g(w) tidak seperlunya lebih besar dari g(x). Walaupun begitu, persamaan (2) dan (3) dapat dievaluasi dengan mudah menggunakan aljabar.)

Oleh karena itu, persamaan (1) adalah sama dengan

\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

Jika semua limit pada (5) ada, maka persamaan (4) sama dengan

 \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)

Sekarang

\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,

karena f(x) tetaplah konstan ketika wx;

 \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)

karena g terdiferensialkan pada x;

 \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)

karena f terdiferensialkan pada x;

 \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,

karena g kontinu pada x (Teorema lainnya mengatakan fungsi yang terdiferensialkan haruslah kontinu)

Kita dapat berkesimpulan bahwa persamaan (5) sama dengan

 f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

Pembuktian alternatif: menggunakan logaritma[sunting | sunting sumber]

Misalkan f = uv dan u dan v adalah positif. Maka

\ln f = \ln u + \ln v.\,

Diferensialkan dua sisi:

{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v

kalikan sisi kiri dengan f dan sisi kanan dengan uv,

{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.

Pembuktian ini dapat dilihat di [1]. Perlu diperhatikan bahwa karena u, v haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).

Pembuktian ini bergantung pada kaidah rantai dan sifat-sifat fungsi logaritma natural.

Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai[sunting | sunting sumber]

Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.

 {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.

Perampatan (Generalization)[sunting | sunting sumber]

Hasil kali dari lebih dari dua faktor[sunting | sunting sumber]

Kaidah darab dapat dirampatkan ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:

\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.

Untuk sekumpulan fungsi f_1, \dots, f_k:

\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x)
 = \left(\sum_{i=1}^k \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)}\right)
   \prod_{i=1}^k f_i(x).

Turunan lebih tinggi[sunting | sunting sumber]

Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi kaidah Leibniz untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika y = uv dan y(n) menandakan turunan ke-n dari y, maka

y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} u^{(n-k)}(x)\; v^{(k)}(x).

Lihat pula koefisien binomial dan teorema binomial yang mirip dengan perampatan ini.

Turunan parsial lebih tinggi[sunting | sunting sumber]

Untuk turunan parsial lebih tinggi:

{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}

dengan indeks S merupakan deret 2n dari subhimpunan dari {1, ..., n}. Misalkan n = 3:

\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv)  \\  \\
&{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} +  {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\  \\
&{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}
+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}
+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}
+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}

Kaidah darab pada ruang Banach[sunting | sunting sumber]

Jika X, Y, dan Z adalah ruang Banach (yang meliputi ruang Euclide) dan B : X × YZ adalah operator bilinear kontinu. Maka B terdiferensialkan dan turunannya pada titik (x,y) di X × Y adalah peta linear D(x,y)B : X × YZ

 (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y.

Turunan dalam aljabar abstrak[sunting | sunting sumber]

Dalam aljabar abstrak, kaidah darab digunakan untuk mendefnisikan apa yang disebut sebagai turunan dan tidak sebaliknya.

Untuk fungsi vektor[sunting | sunting sumber]

Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat antikomutatif pada hasil kali vektor. Sehingga:

(fg)'=f'g+fg' \,

dan bukannya

(fg)'=f'g+g'f \,, walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]