Tabel turunan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Tabel turunan merupakan tabel yang menyenaraikan turunan fungsi-fungsi matematika. Operasi utama dalam kalkulus diferensial adalah mencari turunan fungsi. Dalam tabel berikut ini, f dan g adalah fungsi riil terturunkan, dan c adalah sebuah bilangan riil. Rumus-rumus berikut ini cukup untuk menurunkan fungsi elementer manapun.

Kaidah penurunan umum[sunting | sunting sumber]

Kelinearan
\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'
Kaidah darab
\left({fg}\right)' = f'g + fg'
Kaidah timbalbalik
\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0
Kaidah hasil-bagi
\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0
Kaidah rantai
(f \circ g)' = (f' \circ g)g'
Turunan fungsi invers
(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum
(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)

Turunan fungsi sederhana[sunting | sunting sumber]

c' = 0 \,
x' = 1 \,
(cx)' = c \,
|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0
(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}
\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}
\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik[sunting | sunting sumber]

 \left(c^x\right)' = c^x \ln c ,\qquad c > 0

Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut menghasilkan bilangan kompleks

 \left(e^x\right)' = e^x
 \left(^clog x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c > 0
 \left(ln x\right)' = \frac{1}{x}

Turunan fungsi trigonometri[sunting | sunting sumber]

 (\sin x)' = \cos x \,  (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,
 (\cos x)' = -\sin x \,  (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,
 (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} \,  (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,
 (\sec x)' = \sec x \tan x \,  (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,
 (\csc x)' = -\csc x \cot x \,  (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,
 (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} \,  (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,

Turunan fungsi hiperbolik[sunting | sunting sumber]

( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} (\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} (\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x (\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}
(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x (\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x (\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 + x^2}}
(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x (\operatorname{arccoth}\,x)' = { -1 \over x^2-1}

Turunan fungsi khusus[sunting | sunting sumber]

Fungsi gamma

(\Gamma(x))' = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt (\Gamma(x))' = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)

Fungsi Riemann Zeta

(\zeta(x))' = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} =
-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots
\!

(\zeta(x))' = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!