Integral takwajar

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Integral takwajar jenis pertama. Integral perlu didefiniskan pada domain yang tak berbatas (batas adalah takhingga)
Integral takwajar jenis kedua. Integral mungkin tidak ada karena adanya asimtot tegaklurus pada fungsi tersebut
Topik dalam kalkulus

Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan

Integral

Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial

Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapa kasus, keduanya.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk


\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, dx, \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, dx,

atau dalam bentuk

\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, dx,\quad
\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, dx,

dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu.

Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Integral berikut tidak ada sebagai integral Riemann

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.

karena domain integrasi tidak berbatas. Integral Riemann hanya terdefinisi pada domain berbatas. Namun integral tersebut dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit

\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right] = 1.

Integral berikut juga tidak terdefinisi sebagai integral Riemann:

\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.

Di sini fungsi tidak terdefinisi bila x=0, atau dengan kata lain fungsi tidak berbatas. Integral Riemann tidak terdefinisi dalam kasus tersebut. Hamun bila integral tersebut ditafsirkan sebagai limit

\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{a}\right]=2.

maka limit tersebut konvergen.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  • Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (ed. 2nd), Jon Wiley & Sons .