Kaidah hasil-bagi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Topik dalam kalkulus

Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan

Integral

Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial

Dalam kalkulus, kaidah hasil bagi adalah cara untuk menemukan turunan sebuah fungsi yang terdiri dari hasil bagi dua fungsi lain yang eksistensi turunannya sudah diketahui.

Bila fungsi yang ingin didiferensiasikan f(x) dapat ditulis sebagai

f(x) = \frac{g(x)}{h(x))},

dan h(x)0, maka kaidah hasil bagi menyatakan bahwa turunan g(x)/h(x) dapat dihitung sebagai berikut:

f'(x) = \frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}

Atau lebih tepatnya, untuk semua x dalam sebuah himpunan terbuka (dalam bilangan riil ini adalah selang terbuka) beranggotakan bilangan a, dengan h(a)0, dan g'(a) serta h'(a) keduanya eksis, maka f'(a) juga eksis:


f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{[h(a)]^2}.

Bukti[sunting | sunting sumber]

Misalkan f(x) = g(x)/h(x) dengan h(x) \neq 0, g dan h diferensiabel. Dari definisi turunan kita dapat menuliskan:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}

Dengan menarik keluar 1/\Delta x dan menjumlahkan pecahan di pembilang:


= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)

Menambahkan suku g(x)h(x)-g(x)h(x) pada pembilang dan menyusun ulang memberikan

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)

Memfaktorkan dan mengalikan 1/\Delta x di pembilang menghasilkan:

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}
= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}

Dari definisi turunan, limit-limit di pembilang adalah turunan. Jadi kita mendapatkan

= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}