Matriks Hesse

Dalam matematika, matriks Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini juga dikenal sebagai matriks Hessian, Hessian, atau Hesse. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat[sunting | sunting sumber]

Misal $f : ℝ n \to ℝ$ adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor $x \in ℝ n$ dan menghasilkan skalar $f (x) \in ℝ$ . Jika semua turunan parsial kedua $f$ ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse $H$ dari $f$ merupakan matriks persegi $n \times n$ , biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

\mathbf {H} f={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

(\mathbf {H} f)_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.

Determinan matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.^[1]

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob lewat hubungan $H (f (x)) = J (\nabla f (x))$ .

Matriks Hesse merupakan matriks simetris jika semua turunan parsial kedua $f$ kontinu dalam lingkungan $D$ dari titik $x$ yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari Teorema Schwarz yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

\mathbf {H} f_{ij}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=\mathbf {H} f_{ji}

Aplikasi[sunting | sunting sumber]

Uji turunan kedua[sunting | sunting sumber]

Matriks Hesse dari suatu fungsi cembung bersifat semidefinit positif. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu titik kritis $x$ merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Jika matriks Hesse definit positif di $x$ , maka $f$ mencapai minimum lokal terpencil di $x$ . Sedangkan jika matriks Hesse definit negatif di $x$ , maka $f$ mencapai maksimum lokal terpencil di $x$ . Jika matriks Hesse memiliki nilai eigen positif dan negatif, maka $x$ adalah titik pelana untuk $f$ . Selain kasus-kasus tersebut, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang teori Morse.

Uji turunan kedua fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka $x$ adalah minimum lokal, dan jika negatif maka $x$ adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah determinan dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan minor (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

Titik kritis[sunting | sunting sumber]

Jika gradien (vektor turunan parsial) dari fungsi $f$ nol pada suatu titik $x$ , maka $f$ memiliki titik kritis (atau titik stasioner) di $x$ . Determinan matriks Hesse di $x$ kemudian disebut diskriminan. Jika determinan ini bernilai nol, maka $x$ disebut titik kritis merosot $f$ , atau titik kritis non-Morse $f$ . Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut titik kritis Morse $f$ .

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam teori Morse dan teori katastrofe karena kernel dan nilai eigennya memberikan klasifikasi titik kritis.^[2]^[3]^[4]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
Matriks Jacob
Persamaan Hesse

Catatan[sunting | sunting sumber]

^ Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.
^ Callahan, James J. (2010). Advanced Calculus: A Geometric View (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 248. ISBN 978-1-4419-7332-0.
^ Casciaro, B.; Fortunato, D.; Francaviglia, M.; Masiello, A., ed. (2011). Recent Developments in General Relativity (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 178. ISBN 9788847021136.
^ Domenico P. L. Castrigiano; Sandra A. Hayes (2004). Catastrophe theory. Westview Press. hlm. 18. ISBN 978-0-8133-4126-2.

Bacaan lanjutan[sunting | sunting sumber]

Lewis, David W. (1991). Matrix Theory. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-0689-5.
de Bondt, Michiel; Essen, Arno van den (2005-01-01). "Hesse and the Jacobian conjecture". Affine Algebraic Geometry: Special Session on Affine Algebraic Geometry at the First Joint AMS-RSME Meeting, Seville, Spain, June 18-21, 2003. Contemporary Mathematics. 369. hlm. 63–76. doi:10.1090/conm/369/06804. ISBN 978-0-8218-3476-3. ISSN 1098-3627.
de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2004). "Singular Hessians". Journal of Algebra. 282 (1): 195–204. doi:10.1016/j.jalgebra.2004.08.026.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Hessian of a function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Hessian". MathWorld.

[1] Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0. OCLC 717598615.

[2] Callahan, James J. (2010). Advanced Calculus: A Geometric View (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 248. ISBN 978-1-4419-7332-0.

[3] Casciaro, B.; Fortunato, D.; Francaviglia, M.; Masiello, A., ed. (2011). Recent Developments in General Relativity (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 178. ISBN 9788847021136.

[4] Domenico P. L. Castrigiano; Sandra A. Hayes (2004). Catastrophe theory. Westview Press. hlm. 18. ISBN 978-0-8133-4126-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

l b s Kelas-kelas matriks
Batasan pada elemen matriks	(0,1) Alternatif Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-simetris Panah condong Bidiagonal Biner Bisimetris Diagonal balok Blok Blok segitiga Sentrosimetri Konferensi Hadamard kompleks Kopositif Dominan diagonal Ekuivalen Permutasi generalisasi Bilangan bulat Logis Monomial Nonnegatif Dipartisi Persimetris Polinomial Positif Kuarter Tanda Signatur Hermitian-miring Simetris-miring Garis langit Z Boole Cauchy Diagonal Elementer Frobenius Hadamard Hankel Hermite Hessenberg Metzler Moore Parisi Pita Permutasi Rongga Segitiga Simetrik Sylvester Transformasi Fourier diskret Tridiagonal Toeplitz Uniter Vandermonde Walsh
Konstan	Bergeser Pertukaran Hilbert Identitas Lehmer Nol Pascal Pauli Redheffer Satu
Batasan pada nilai eigen dan vektor eigen-nya	Kompasi Konvergen Defektif Diagonalisasi Generalisasi-positif Stabilitas Hurwitz Stieltjes
Batasan pada hasil perkalian atau inversnya	Congruent Involutori Generalisasi unimodular Penimbangan Idempoten atau Proyeksi Nilpoten Normal Ortogonal Singular Terbalikkan (nonsingular) Unimodular Unipoten
Dengan aplikasi tertentu	Adjugat Tanda alternatif Augmenten Lingkaran Komutasi Kofunsi Derogasi Duplikasi Eliminasi Jarak Euklides Matriks fundamental (persamaan diferensial linear) Generator Geser Persamaan Acak Bézout Carleman Cartan Coxeter Gram Hesse Householder Imbalan Jacobi Jarak Kofaktor Seifert Simplektik Transformasi Pick Positif total Rotasi Wedderburn X–Y–Z
Digunakan dalam statistika	Centering Design Dispersion Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Bernoulli Korelasi Kovariansi Stokastik (Markov)
Digunakan dalam teori graf	Adjacency Biadjacency Degree Incidence Seidel adjacency Skew-adjacency Edmonds Laplace Tutte
Digunakan dalam sains dan teknik	Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Irregular Overlap State transition Substitution Z (chemistry) Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Densitas Gamma Gell-Mann Hamilton S
Istilah yang berhubungan	Jordan canonical form Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Quaternionic matrix Bebas linear Bentuk eselon baris Invers semu Wronskian
Daftar jenis matriks Kategori:Matriks