Matriks (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu

\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}.

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{bmatrix}
\!

Notasi[sunting | sunting sumber]

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:

 \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}.

Operasi dasar[sunting | sunting sumber]

Penjumlahan dan pengurangan matriks[sunting | sunting sumber]

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!

atau dalam representasi dekoratfinya


\begin{bmatrix}
{3} & {4} \\
{6} & {5} \\

\end{bmatrix}
\!

\begin{bmatrix}
(a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\
(a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
\end{bmatrix}
\!

Perkalian skalar[sunting | sunting sumber]

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}

Contoh perhitungan :

5 \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    1 &  2 & 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
   5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\
   5 \cdot 1 & 5 \cdot   2  & 5 \cdot 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    5 & -15 & 10 \\
    5 & 10  & 35
  \end{pmatrix}

Perkalian Matriks[sunting | sunting sumber]

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

 c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}

Contoh perhitungan :


  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    6 & -1 \\
    3 & 2 \\
    0 & -3
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \cdot 6  +  2 \cdot 3  +  3 \cdot 0 &
     1 \cdot (-1) +  2 \cdot 2 +  3 \cdot (-3) \\
     4 \cdot 6  +  5 \cdot 3  +  6 \cdot 0 &
     4 \cdot (-1) +  5 \cdot 2 +  6 \cdot (-3) \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    12 & -6 \\
    39 & -12
  \end{pmatrix}

Pranala luar[sunting | sunting sumber]