Kebebasan linear

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Bebas linear)
Langsung ke: navigasi, cari

Dalam aljabar linear, sekelompok vektor disebut bebas linear apabila masing-masingnya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain. Sekelompok vektor yang tidak memenuhi syarat ini dinamakan bergantung linier.

Sebagai contoh, dalam sebuah ruang vektor riil tiga dimensi \mathbb{R}^3 kita bisa mengambil tiga vektor berikut:


\begin{matrix}
\mbox{bebas linear}\qquad\\
\underbrace{
  \overbrace{
    \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}
  },
  \begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}
}\\
\mbox{bergantung linear}\\
\end{matrix}

Tiga vektor pertama adalah bebas linear, namun vektor keempat sama dengan 9 kali vektor pertama ditambah 5 kali vektor kedua ditambah 4 kali vektor ketiga, sehingga keempat vektor tersebut bergantung linear. Kebebasan linear adalah sifat sekelompok vektor, bukan sifat vektor tunggal. Kita dapat menulis vektor pertama sebagai kombinasi linear tiga vektor berikutnya.

\bold{v}_1 = \left(-\frac{5}{9}\right) \bold{v}_2 + \left(-\frac{4}{9}\right) \bold{v}_3 + \frac{1}{9} \bold{v}_4 .

Definisi formal[sunting | sunting sumber]

Sebuah himpunan bagian dari ruang vektor V disebut bergantung linear bila ada sejumlah terhingga vektor berbeda-beda v1, v2, ..., vn dalam S dan skalar a1, a2, ..., an, yang tidak semuanya nol, sehingga

 a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}.

Perhatikan bahwa nol di ruas kanan adalah vektor nol, bukan bilangan nol.

Bila persamaan tersebut hanya dipenuhi oleh skalar-skalar nol, vektor tersebut disebut bebas linear.

Bebas linear dapat didefinisikan sebagai berikut: suatu himpunan vektor v1, v2, ..., vn dikatakan bebas linear jika kombinasi linear nol atas vektor-vektor tersebut hanya dipenuhi oleh solusi trivial; yaitu jika a1,a2,...,an adalah skalar sehingga

 a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}

jika dan hanya jika ai = 0 untuk semua i = 1, 2, ..., n.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]