Nilai absolut

Grafik fungsi y-x, dengan x bilangan riil.

Dalam matematika, Nilai absolut atau nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan riil tanpa tanda plus atau minus. Baik $|a|$ ataupun $|-a|$ sama-sama bernilai $a$. Sebagai contoh, nilai absolut dari 3 adalah 3, dan nilai absolut dari –3 juga 3.

Terminologi dan penulisan

Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah "module" pada tahun 1806 di Perancis khususnya untuk nilai absolut bilangan kompleks, dan kata itu akhirnya di adopsi dalam bahasa Inggris tahun 1866 menjadi "modulus".

Istilah "nilai absolut" sudah digunakan sejak 1806 di Perancis dan 1857 di Inggris. Penulisan | a | diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.

Definisi dan properti

Untuk semua bilangan riil a nilai absolut dinyatakan dengan | a | (a diapit garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:

$|a| = \begin{cases} a, & \mbox{if } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{if } a < 0. \end{cases}$

Dari definisi di atas, nilai absolut a akan selalu positif atau nol, tapi tidak pernah negatif

Definisi lain dari nilai absolut adalah

$|a| = \sqrt{a^2}$

$|a|^2 = a^2\,$

karena nilai dari akar kuadrat diwakili bilangan positif.

Definisi ini sering digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan absolut. Contoh:

$|x-2| = x$

$|x-2|^2 = x^2$

$(x-2-x^2)(x-2+x^2) = 0$

$(x^2-x+2)(x^2+x-2) = 0$

$x = 1 \or x = -2$

(Catatan: $x^2-x+2$ tidak mempunyai akar riil.)

Referensi

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.