Tabel integral

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Integrasi adalah salah satu dari dua operasi dasar kalkulus; operasi yang lain adalah penurunan (derivasi). Pada penurunan, terdapat aturan yang menjadikan turunan dari fungsi-fungsi kompleks dapat ditelusuri dari penurunan fungsi-fungsi komponennya yang lebih sederhana. Hal ini tidak terdapat dalam integrasi sehingga tabel integral biasanya amat berguna.

Artikel ini memberikan tabel operasi integrasi yang umum dijumpai. Pada daftar integrasi di bawah ini, C menyatakan konstanta sebarang.

Aturan integrasi dari fungsi-fungsi umum[sunting | sunting sumber]

  1. \int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!
  2. \int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
  3. \int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
  4. \int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\!
  5. \int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C
  6. \int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C

Integral dari fungsi-fungsi sederhana[sunting | sunting sumber]

Fungsi rasional[sunting | sunting sumber]

\int \,{\rm d}x = x + C
\int x^n\,{\rm d}x =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1
\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

Fungsi irrasional[sunting | sunting sumber]

\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C

Fungsi logaritma[sunting | sunting sumber]

\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x \log_b {x} - x \log_b {e} + C

Fungsi eksponensial[sunting | sunting sumber]

\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Fungsi trigonometri[sunting | sunting sumber]

Artikel utama: Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi arc
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

Fungsi hiperbolik[sunting | sunting sumber]

\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C

Fungsi inversi hiperbolik[sunting | sunting sumber]

\int \operatorname{arsinh} x \, dx  = x \operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \operatorname{arcosh} x \, dx  = x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C
\int \operatorname{artanh} x \, dx  = x \operatorname{artanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x \operatorname{arcsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x \operatorname{arsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \operatorname{arcoth} \, dx  = x \operatorname{arcoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C

Lihat pula[sunting | sunting sumber]