Teorema nilai purata

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Untuk setiap fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b) terdapat paling tidak satu c adalam selang (a, b) sedemikian rupa sehingga garis yang menghubungkan titik-titik ujung selang (secant) [a, b] sejajar terhadap garis singgung (tangent) pada c.

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. [1] Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.


Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II[2]. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus.

Pernyataan formal[sunting | sunting sumber]

Misalkan f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b. Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga
f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinu dalam selang [a, b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f' (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan f(x) = e^{ix} untuk semua x bernilai riil. Maka

f(2\pi) - f(0) = 0 = 0 (2\pi - 0),

sedangkan

|f '(x)| = 1.

Bukti[sunting | sunting sumber]

Pemerintah kota Beijing merayakan teorema nilai purata

Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (aƒ(a)) dan (bƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (xƒ(x)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.


Definisikan g(x) = ƒ(x) − rx, di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [ab] dan terdiferensialkan pada(ab), hal yang sama juga berlaku buat g. Kita sekarang ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu

\begin{align}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}

Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g(a) = g(b), terdapat suatu c dalam (ab) sedemikian sehingga g ′(c) = 0, dan dari persamaan g(x) = ƒ(x) − rx berarti

f '(c)=g '(c)+r=0+r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

seperti yang hendak dibuktikan.

Teorema nilai purata untuk integral[sunting | sunting sumber]

Pernyataan[sunting | sunting sumber]

Bukti[sunting | sunting sumber]

Rujukan[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]