Teorema nilai purata

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut. Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II. Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus.

Pernyataan formal

Topik dalam kalkulus

Teorema dasar Limit fungsi Kekontinuan Kalkulus vektor Kalkulus matriks Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab Kaidah hasil-bagi Kaidah rantai Turunan implisit Teorema Taylor Laju berhubungan Tabel turunan

Integral

Tabel integral Integral takwajar Pengintegralan dengan: bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi, substitusi trigonometri, pecahan parsial

Misalkan f : [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b. Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga

$f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinu dalam selang [a, b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f' (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x^1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan $f(x) = e^{ix}$ untuk semua x bernilai riil. Maka

$f(2\pi) - f(0) = 0 = 0 (2\pi - 0)$,

sedangkan

$|f '(x)| = 1$.

Bukti

Pemerintah kota Beijing merayakan teorema nilai purata

Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (a, ƒ(a)) dan (b, ƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (x, ƒ(x)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.

Definisikan g(x) = ƒ(x) − rx, di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [a, b] dan terdiferensialkan pada(a, b), hal yang sama juga berlaku buat g. Kita sekarang ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu

$\begin{align}g(a)=g(b)&\Leftrightarrow f(a)-ra=f(b)-rb\\&\Leftrightarrow r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}$

Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g(a) = g(b), terdapat suatu c dalam (a, b) sedemikian sehingga g ′(c) = 0, dan dari persamaan g(x) = ƒ(x) − rx berarti

$f '(c)=g '(c)+r=0+r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

seperti yang hendak dibuktikan.

Pranala luar

• (Inggris) PlanetMath: Mean-Value Theorem
• (Inggris)Mathworld: Mean-Value Theorem