Kaidah rantai

Topik dalam kalkulus

Teorema dasar Limit fungsi Kekontinuan Kalkulus vektor Kalkulus matriks Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab Kaidah hasil-bagi Kaidah rantai Turunan implisit Teorema Taylor Laju berhubungan Tabel turunan

Integral

Tabel integral Integral takwajar Pengintegralan dengan: bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi, substitusi trigonometri, pecahan parsial

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

$\frac {dy}{dx} = \frac {dy} {du} \cdot\frac {du}{dx}$

Bukti

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u₀ dan x = x₀. Maka y merupakan fungsi komposit dari x $(y = (f \circ g)(x))$. Turunan y terhadap x di titik x₀ dinyatakan sebagai

$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}}$

Misalkan $\Delta u = g(x_0+\Delta x)-g(x_0)$, dan $u_0 = g(x_0)$. Untuk $x \rightarrow 0$ maka $u \rightarrow 0$. Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)$

$=\left[\lim_{\Delta u \to 0}\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u}\right] \left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}\right]$

$= \frac{dy}{du}|_{u=u_0} \cdot \frac{du}{dx}|_{x=x_0}$.

Pranala luar

• (Inggris)Eric W. Weisstein, Chain Rule di MathWorld.