Kaidah rantai

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Topik dalam kalkulus

Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan

Integral

Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai


\frac {dy}{dx} = \frac {dy} {du} \cdot\frac {du}{dx}

Bukti[sunting | sunting sumber]

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u0 dan x = x0. Maka y merupakan fungsi komposit dari x (y = (f \circ g)(x)). Turunan y terhadap x di titik x0 dinyatakan sebagai

\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}}

Misalkan \Delta u = g(x_0+\Delta x)-g(x_0), dan u_0 = g(x_0). Untuk x \rightarrow 0 maka u \rightarrow 0. Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)
=\left[\lim_{\Delta u \to 0}\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u}\right] \left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}\right]
= \frac{dy}{du}|_{u=u_0} \cdot \frac{du}{dx}|_{x=x_0}.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]