Kaidah rantai

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai


\frac {dy}{dx} = \frac {dy} {du} \cdot\frac {du}{dx}

Bukti[sunting | sunting sumber]

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u0 dan x = x0. Maka y merupakan fungsi komposit dari x (y = (f \circ g)(x)). Turunan y terhadap x di titik x0 dinyatakan sebagai

\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}}

Misalkan \Delta u = g(x_0+\Delta x)-g(x_0), dan u_0 = g(x_0). Untuk x \rightarrow 0 maka u \rightarrow 0. Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)
=\left[\lim_{\Delta u \to 0}\frac{f(u_0 + \Delta u) - f(u_0)}{\Delta u}\right] \left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}\right]
= \frac{dy}{du}|_{u=u_0} \cdot \frac{du}{dx}|_{x=x_0}.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]