Teorema Green

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Topik dalam kalkulus

Teorema dasar
Limit fungsi
Kekontinuan
Kalkulus vektor
Kalkulus matriks
Teorema nilai purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah hasil-bagi
Kaidah rantai
Turunan implisit
Teorema Taylor
Laju berhubungan
Tabel turunan

Integral

Tabel integral
Integral takwajar
Pengintegralan dengan:
bagian per bagian, cakram, silinder, substitusi,
substitusi trigonometri,
pecahan parsial

Dalam matematika, Teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana C dan integral ganda pada daerah di bidang D yang dibatasi oleh C. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green [1] dan merupakan kasus khusus dua dimensi dari Teorema Stokes yang lebih umum.

Teorema Green di bidang[sunting | sunting sumber]

Misalkan D daerah pada bidang dan C kurva tertutup di D yang tidak memotong dirinya sendiri, dan mulus bagian per bagian. Misalkan pula P(x,y) dan Q(x,y) dua fungsi yang didefinisikan pada D dengan turunan parsialnya kontinu. Maka:[2]


\oint_{C} P\, \mathrm{d}x + Q\, \mathrm{d}y = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y

R adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh C.

Bukti[sunting | sunting sumber]

Bila D adalah daerah sederhana (tipe I) dengan batas-batasnya terdiri dari kurva C1, C2, C3, C4, kita dapat menunjukkan separuh dari Teorema Green.

Perlu diperhatikan bahwa fungsi P dan Q adalah saling bebas, artinya salah satu dapat kita ambil sebagai nol. Kita dapat menulis:


\oint_{C} P\, \mathrm{d}x = \iint_{D} -\frac{\partial P}{\partial y}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y

dan


\oint_{C} Q\, \mathrm{d}y = \iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y

Untuk membuktikan Teorema Green kita cukup membuktikan kedua belah persamaan di atas. Selanjutnya kita meninjau perhitungan integral pada daerah sederhana pada dua tipe. Daerah tipe pertama adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis vertikal dan dua kurva fungsi kontinu (seperti yang ditunjukkan oleh gambar), sedangkan tipe kedua adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis horizontal dan dua kurva fungsi kontinu. Semua daerah sembarang dapat dibagi menjadi daerah-daerah yang tergolong ke dua tipe ini.

Misalkan kita memiliki daerah sederhana tipe I, yang dibatasi oleh garis vertikal x = a, x = b, p(x) dan q(x). Kita akan membuktikan bahwa Teorema Green berlaku di daerah tersebut. Pertama kita hitung integral lipatnya:


\begin{align}
\iint_{D} -\frac{\partial P}{\partial y}\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y 
& = \int_{a}^{b}\left(\int_{q(x)}^{p(x)} -\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\
& = \int_{a}^{b} -P(x,y)\|_{q(x)}^{p(x)} \mathrm{d}x \\
& = \int_{a}^{b} -P(x, p(x)) \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} P(x, q(x)) \mathrm{d}x
\end{align}

Kemudian kita hitung integral garisnya:


\begin{align}
 \oint_{C} P(x,y) \mathrm{d}x 
& = \int_{C1} P(x,y) \mathrm{d}x + \int_{C2} P(x,y) \mathrm{d}x + \int_{C3} P(x,y) \mathrm{d}x + \int_{C4} P(x,y) \mathrm{d}x \\
& = \int_a^b P(x, q(x)) \mathrm{d}x + 0 + \int_a^b P(x, p(x)) \mathrm{d}x + 0 \\
& = \int_a^b P(x, q(x)) \mathrm{d}x - \int_a^b P(x, p(x)) \mathrm{d}x \\
\end{align}

Terlihat bahwa integral lipatnya sama dengan integral garis.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini; dia menurunkan bentuk "teorema divergensi" yang muncul pada halaman 10-12 dari karyanya (Essay')'.
    Pada tahun 1846, bentuk "Teorema Green" yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan, tanpa bukti, dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup), Comptes rendus, 23: 251-255. (Persamaannya muncul di bagian bawah halaman 254, di mana (S) melambangkan integral garis fungsi k sepanjang kurva s yang membatasi daerah S)
    Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahun 1851 oleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya: Bernard Riemann (1851) Grundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks) (Göttingen, (Jerman): Adalbert Rente, 1867); lihat halaman 8 - 9.
  2. ^ Wono Setya Budhi (2001). "Bab 6: Teorema Integral". Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya. Bandung: Penerbit ITB. hlm. 288–290. ISBN 979-9299-27-6.