Teorema Green

Dalam matematika, teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana C dan integral ganda pada bidang D yang dibatasi oleh C. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum.

Teorema

Misalkan $C$ adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (piecewise), dan berorientasi positif, dan misalkan $D$ adalah daerah yang dibatasi oleh $C$. Jika $L$ dan $M$ adalah fungsi terhadap $(x,\,y)$ yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup D dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka

$$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy$$

dengan arah integrasi sepanjang $C$ bersifat berlawanan jarum jam.

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

Bukti ketika D adalah daerah sederhana

Bila D adalah daerah sederhana (tipe I) dengan batas-batasnya terdiri dari kurva C₁, C₂, C₃, C₄, kita dapat menunjukkan separuh dari Teorema Green.

Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah $D$ yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I dimana $C_{1}$ dan $C_{3}$ adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika $D$ adalah daerah tipe II di mana $C_{2}$ dan $C_{4}$ adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III. Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungan

$\oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA$

(1)

dan

$\oint _{C}\ M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)dA$

(2)

bersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah $D$. Bukti persamaan (1) dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan (2) untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III. Misalkan $D$ adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, oleh

$$D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$$

dengan $g_{1}$ dan $g_{2}$ adalah fungsi kontinu pada $[a,\,b]$. Dengan menghitung integral ganda pada persamaan (1):

${\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}\left[L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x))\right]\,dx.\end{aligned}}$

(3)

Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (1). Kurva $C$ dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, dan $C_{4}$. Pada $C_{1}$, persamaan parametrik $x=x,\,y=g_{1}(x)$ untuk $a\leq x\leq b$ dapat digunakan untuk menyatakan $C_{1}$. Selanjutnya

$$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.$$

Pada $C_{3}$, persamaan parametrik $x=x,\,y=g_{3}(x)$ untuk $a\leq x\leq b$ dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya,

$$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.$$

Integral atas $C_{3}$ bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari $b$ menuju $a$, sama dengan arah orientasi $C$ yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada $C_{2}$ dan $C_{4}$, nilai $x$ tidak berubah, mengartikan

$$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.$$

Akibatnya,

${\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\end{aligned}}$

(4)

Menggabungkan hasil pada persamaan (3) dengan persamaan (4), didapatkan bukti persamaan (1) untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan (2) pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.

Wilayah yang terhubung banyak

Teorema. Misalkan $\Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}$ berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki $\mathbb {R} ^{2}$ yang memenuhi

${\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{ji }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{jika }}1\leq i,j\leq n{\text{ dan }}i\neq j,\end{aligned}}$

dengan $R_{i}$ adalah daerah bagian dalam dari $\Gamma _{i}$. Misalkan pula $D$ sebagai $D=R_{0}\smallsetminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}),$ dan $p:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R}$ dan $q:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R}$ adalah fungsi kontinu yang batasannya (restriction) di $D$ adalah terdiferensialkan-Fréchet. Jika fungsi

$(x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)$

terintegralkan Riemann atas $D$, maka berlaku hubungan:

${\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}$

Lihat pula

• Teorema Divergensi
• Teorema Stokes