Lompat ke isi

Basis (aljabar linear)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Basis Hamel)
Vektor yang sama (panah berwarna biru tua) dapat dinyatakan dengan menggunakan dua basis yang berbeda (panah-panah berwarna ungu dan berwarna merah).

Dalam matematika, sebarang himpunan vektor B dalam suatu ruang vektor V disebut basis, jika setiap elemen di V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear terhingga yang unik dari elemen-elemen di B. Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai koordinat dari vektor terhadap B. Elemen-elemen dari basis disebut sebagai vektor basis. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan B yang elemen-elemennya saling bebas linear dan setiap elemen di V adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di B.[1] Dengan kata lain, basis adalah himpunan merentang (spanning) yang bebas linear.

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari ruang vektor. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.

Basis untuk ruang vektor (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian yang memenuhi:

  1. Setiap dapat dituliskan sebagai dengan .
  2. Jika representasi lain, maka dan ada suatu permutasi yang dan .

Sebarang basis dari suatu ruang vektor atas lapangan (seperti bilangan riil atau bilangan kompleks ) adalah suatu subset dari yang saling bebas linear dan merentang . Hal ini mengartikan suatu subset dari merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:

kebebasan linear
Untuk setiap subset terhingga dari , jika untuk suatu di F, maka ;
merentang linear
Untuk setiap vektor , terdapat skalar di F dan vektor di B, sehingga .

Skalar-skalar disebut koordinat dari vektor terhadap basis , dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut berdimensi hingga jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.

Vektor-vektor basis seringkali (dan terkadang harus) perlu memiliki urutan total untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas orientasi, atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah basis terurut terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu himpunan tak-terurut, melainkan sebagai suatu barisan (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian Koordinat di bawah.

Gambar ini mengilustrasikan basis standar di yang elemennya adalah vektor biru dan oranye. Vektor hijau dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, mengakibatkan vektor ini bergantung linear pada mereka.

Himpunan dari pasangan terurut bilangan riil adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponendan perkaliandengan adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor dan . Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut basis standar) karena sebarang vektor di dapat ditulis secara unik sebagaiSebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di , seperti dan , juga membentuk sebuah basis untuk . Secara umum, jika berupa lapangan, maka himpunan yang berisi rangkap-n elemen-elemen dari adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkanadalah rangkap-n dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i, yang bernilai 1. Himpunan membentuk suatu basis (terurut) untuk yang disebut dengan basis standar dari Contoh yang berbeda terlihat pada gelanggang polinomial. Jika berupa lapangan, himpunan dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di , merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial B, yang berisi semua monomial:Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev.

Sifat-sifat

[sunting | sunting sumber]

Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari lema pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor , dan sebarang penetapan himpunan merentang dan himpunan bebas linear berisi elemen dari , elemen dari dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung , elemen-elemen yang lainnya berada di , dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan . Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, namun pembuktian untuk keadaan ini memerlukan aksioma pemilihan atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti lema ultrafilter.

Jika adalah ruang vektor atas lapangan , maka:

  • Untuk sebarang subset bebas linear dari sebarang himpunan merentang , terdapat suatu basis sehingga
  • memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih sebagai himpunan kosong, dan ).
  • Setiap basis dari memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari . Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
  • Sebarang himpunan pembangkit adalah basis dari jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya, bukan subset sejati (proper subset) dari sebarang himpunan yang bebas linear.

Jika adalah ruang vektor berdimensi , suatu subset berisi elemen dari merupakan basis dari jika dan hanya jika:

  • Subset tersebut bebas linear;
  • Subset tersebut himpunan merentang dari .

Koordinat

[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah ruang vektor berdimensi (hingga) atas lapangan , danadalah basis dari . Berdasarkan definisi dari basis, setiap di dapat ditulis secara unik sebagaidengan koefisien-koefisien adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari ), yang disebut sebagai koordinat dari atas . Akan tetapi, pembahasan terkait himpunan koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor dan yang berbeda memiliki himpunan koefisien yang sama. Oleh karena itu, konsep basis terurut umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan mengindeks elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.


Misalkan, seperti biasa, adalah himpunan rangkap-n dari elemen-elemen di ). Himpunan ini adalah ruang vektor-, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaanadalah suatu isomorfisme linear dari ruang vektor pada (onto) . Dalam kata lain, adalah ruang koordinat dari , dan rangkap-n adalah vektor koordinat dari . Secara khusus, invers bayangan dari oleh adalah vektor , yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i yang bernilai 1. Himpunan membentuk suatu basis terurut bagi , yang disebut dengan basis standar atau basis kanonik.

Perubahan basis

[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah ruang vektor berdimensi atas lapangan F. Untuk dua basis (terurut) dan , terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor atas , dalam bentuk koordinat atas . Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.

Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,Jika dan adalah koordinat vektor , masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalahUntuk Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi matriks. Misalkan adalah matriks dengan entri-entri , danadalah vektor kolom dari koordinat masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebagaRumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor pada kedua basis: di satu sisi kita memilikidan di sisi lain,Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubunganuntuk i = 1, ..., n.

Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis

[sunting | sunting sumber]

Misalkan adalah sebarang ruang vektor atas lapangan , dan adalah himpunan semua subset yang bebas linear di . Himpunan tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari dan bebas linear). Himpunan juga terurut parsial oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan .

Misalkan adalah suatu subset dari yang terurut total oleh , dan misalkan adalah gabungan dari semua elemen di . Karena terurut total, setiap subset terhingga dari adalah suatu subset dari suatu elemen di , yang merupakan suatu subset bebas linear dari . Akibatnya, juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari . Hal ini mengartikan adalah batas atas bagi dalam : himpunan itu adalah elemen dari , dan berisi semua elemen dari .

Karena tak-kosong, dan semua subset terurut total dari memiliki batas atas dalam , lema Zorn menyatakan bahwa memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen di yang memenuhi kondisi: kapanpun untuk suatu elemen dari , maka .

Karena elemen dari , kita menyimpulkan adalah subset yang bebas linear di . Sekarang kita cukup membuktikan adalah basis dari .

Anggap ada suatu vektor di yang tidak berada dalam rentang (span) dari , maka bukan menjadi elemen dari . Misalkan . Himpunan ini adalah elemen dari (karena tidak berada dalam rentang , dan bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di . Karena namun (karena mengandung yang tidak ada di ), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari . Alhasil, merentang .

Kita dapatkan bebas linear dan merentang , menjadikannya sebagai basis bagi dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan aksioma pemilihan. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar.[2] Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.

Catatan kaki

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (edisi ke-4th). New York: Springer. hlm. 10. ISBN 978-0-387-90093-3. 
  2. ^ Blass 1984

Referensi

[sunting | sunting sumber]

Referensi umum

[sunting | sunting sumber]

Referensi sejarah

[sunting | sunting sumber]

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]