Produk (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam matematika, Produk adalah hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor yang akan dikalikan. Contohnya, 30 adalah hasil perkalian 6 dan 5 (hasil perkalian), dan adalah produk dari dan (menunjukkan bahwa kedua faktor harus dikalikan bersama).

Urutan bilangan riil atau bilangan kompleks adalah dikalikan tidak ada hubungannya dengan produk; hal ini dikenal sebagai hukum komutatif pada perkalian. Ketika matriks atau anggota dari berbagai aljabar asosiatif lainnya dikalikan, produk biasanya tergantung pada urutan faktor. Perkalian matriks, contohnya, bersifat non-komutatif, begitu pula perkalian pada aljabar lain pada umumnya.

Ada banyak jenis produk dalam matematika: selain dapat mengalikan hanya bilangan, polinomial atau matriks, seseorang juga dapat mendefinisikan hasil kali pada banyak struktur aljabar yang berbeda.

Hasil perkalian dua angka[sunting | sunting sumber]

Hasil perkalian dua bilangan asli[sunting | sunting sumber]

3 kali 4 sama dengan 12

Menempatkan beberapa batu menjadi pola persegi panjang dengan baris dan kolom memberikan

Pendekatan lain untuk perkalian yang berlaku juga untuk bilangan real adalah dengan terus menerus meregangkan garis bilangan dari 0 (sehingga 1 ditarik ke satu Faktor (mathem[perlu disambiguasi]) dan mencari produk, di mana faktor lainnya direntangkan.

Produk dari dua bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. Produknya ditentukan oleh hasil kali jumlah positifnya, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

(aturan ini adalah konsekuensi yang diperlukan dari menuntut distributivitas perkalian atas penjumlahan, dan bukan merupakan aturan tambahan.)

Singkatnya, kami memiliki:

  • Minus kali Minus memberi Plus
  • Minus kali Plus memberi Minus
  • Plus kali Minus memberi Minus
  • Plus kali Plus memberi Plus

Hasil perkalian dua pecahan[sunting | sunting sumber]

Dua pecahan dapat dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya:

Produk dari dua bilangan riil[sunting | sunting sumber]

Untuk definisi yang tepat dari produk dari dua bilangan real lihat Konstruksi bilangan real.

Rumus

Dalil[1] — menduga a > 0 dan b > 0. Bila 1 < p < ∞ dan q := pp - 1 kemudian

ab = min0 < t < ∞ tp app + t- q bqq.
Bukti[1] —

Tentukan fungsi nilai riil f pada bilangan riil positif dengan

f (t) := tp app + t-q bqq

untuk setiap t > 0 dan kemudian hitung minimumnya.

Hasil perkalian dua bilangan kompleks[sunting | sunting sumber]

Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa , sebagai berikut:

Arti geometris perkalian kompleks[sunting | sunting sumber]

Bilangan kompleks dalam koordinat polar.

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam koordinat polar:

Selanjutnya,

dari mana seseorang memperolehnya

Arti geometrisnya adalah bahwa besarannya dikalikan dan argumennya ditambahkan.

Produk dari dua angka empat[sunting | sunting sumber]

Produk dari dua quaternions dapat ditemukan dalam artikel di quaternions. Perhatikan, dalam hal ini, itu dan berbeda secara umum.

Produk urutan[sunting | sunting sumber]

Operator perkalian untuk perkalian urutan dilambangkan dengan huruf besar Yunani pi (dalam analogi penggunaan modal Sigma sebagai simbol penjumlahan).[2][3] Contohnya ekspresi is cara lain untuk menulis .[4]

Produk dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan hanyalah bilangan itu sendiri; hasil kali tanpa faktor sama sekali dikenal sebagai produk kosong, dan sama dengan 1.

Gelanggang komutatif[sunting | sunting sumber]

Gelanggang komutatif memiliki operasi produk.

Kelas residu dari bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Kelas residu pada gelanggang bisa ditambahkan:

dan dikalikan:

Konvolusi[sunting | sunting sumber]

Konvolusi gelombang persegi dengan sendirinya memberikan fungsi segitiga

Dua fungsi dari riil ke dirinya sendiri dapat dikalikan dengan cara lain, yang disebut konvolusi.

Bila

kemudian integral

didefinisikan dengan baik dan disebut konvolusi.

Di bawah Transformasi Fourier, konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-bijaksana.

Gelanggang polinomial[sunting | sunting sumber]

Produk dari dua polinomial diberikan sebagai berikut:

dengan

Produk dalam aljabar linear[sunting | sunting sumber]

Ada banyak jenis hasil kali dalam aljabar linear. Beberapa di antaranya memiliki nama yang sangat mirip (produk luar, produk eksterior) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (produk luar, produk tensor, produk Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Gambaran singkat tentang ini diberikan di bagian berikut.

Perkalian skalar[sunting | sunting sumber]

Dengan definisi ruang vektor, seseorang dapat membentuk produk dari setiap skalar dengan vektor apapun, memberikan peta .

Produk skalar[sunting | sunting sumber]

Sebuah produk skalar adalah peta bi-linear:

dengan kondisi sebagai berikut untuk semua .

Dari hasil perkalian skalar, seseorang dapat mendefinisikan sebuah norma dengan membiarkan .

Produk skalar juga memungkinkan seseorang untuk menentukan sudut antara dua vektor:

Dalam ruang Euklides dimensi, produk skalar standar (disebut produk titik) diberikan oleh:

Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi[sunting | sunting sumber]

Perkalian silang dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus kedua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajaran genjang yang direntang oleh kedua faktor tersebut.

Perkalian silang juga dapat dinyatakan sebagai formal [a] determinan:

Komposisi pemetaan linear[sunting | sunting sumber]

Pemetaan linear dapat didefinisikan sebagai fungsi f antara dua ruang vektor V dan W dengan bidang yang mendasari F, memuaskan[5]

Bila seseorang hanya mempertimbangkan ruang vektor berdimensi hingga, maka

in which bV dan bW menunjukkan basis dari V dan W, dan vi menunjukkan komponen dari v on bVi, and Konvensi penjumlahan Einstein diterapkan.

Sekarang kita perhatikan komposisi dua pemetaan linier antara ruang vektor berdimensi hingga. Biarkan pemetaan linear f peta V untuk W, dan biarkan pemetaan linier g memetakan W ke U. Kemudian seseorang bisa mendapatkan

Atau dalam bentuk matriks:

di mana i - baris, j - elemen kolom dari F, dilambangkan dengan Fij, is fji, dan Gij=gji.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear dapat direpresentasikan secara serupa oleh rantai perkalian matriks.

Produk dari dua matriks[sunting | sunting sumber]

Diberikan dua matriks

dan

produk mereka diberikan oleh

Komposisi fungsi linear sebagai hasil perkalian matriks[sunting | sunting sumber]

Ada hubungan antara komposisi fungsi linier dan hasil kali dua matriks. Untuk melihat ini, maka r = dim(U), s = dim(V) dan t = dim(W) menjadi (terbatas) dimensi dari ruang vektor U, V dan W. Mari menjadi basis dari U, be a basis of V and menjadi dasar W. Dalam hal dasar ini, maka menjadi matriks yang mewakili f : U → V and menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Then

adalah matriks yang mewakili .

Dengan kata lain: perkalian matriks adalah uraian dalam koordinat dari komposisi fungsi linier.

Hasil kali sensor dari ruang vektor[sunting | sunting sumber]

Diberikan dua ruang vektor berdimensi terbatas V dan W, hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai (2,0) -tensor yang memuaskan:

dimana V* dan W* menunjukkan spasi ganda dari V dan W.[6]

Untuk ruang vektor berdimensi tak hingga, satu juga memiliki:

Produk tensor, hasil luar dan produk Kronecker semuanya menyampaikan gagasan umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa produk Kronecker hanyalah produk tensor matriks, sehubungan dengan basis tetap sebelumnya, sedangkan produk tensor biasanya diberikan dalam definisi intrinsik. Hasil kali luar hanyalah hasil kali Kronecker, terbatas pada vektor (bukan matriks).

Kelas semua objek dengan hasil kali tensor[sunting | sunting sumber]

Secara umum, setiap kali seseorang memiliki dua objek matematika yang dapat digabungkan dengan cara yang berperilaku seperti hasil kali tensor aljabar linear, maka ini dapat dipahami secara umum sebagai produk internal dari kategori monoid. Artinya, kategori monoidal menangkap dengan tepat arti dari produk tensor; ini menangkap dengan tepat gagasan mengapa produk tensor berperilaku seperti itu. Lebih tepatnya, kategori monoidal adalah kelas dari semua benda (dari jenis tertentu) yang memiliki perkalian tensor.

Produk lain dalam aljabar linear[sunting | sunting sumber]

Jenis produk lain dalam aljabar linier meliputi:

Produk Kartesius[sunting | sunting sumber]

Dalam teori himpunan, perkalian kartesius adalah operasi matematika yang mengembalikan himpunan (atau himpunan produk) dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan A dan B, produk kartesius A × B adalah himpunan dari semua pasangan terurut (a, b) dimana a ∈ A dan b ∈ B.[7]

Kelas dari semua benda (dari tipe) tertentu yang memiliki hasilkali Kartesius disebut kategori kartesius. Banyak di antaranya adalah Kategori tertutup kartesius. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Di sini, "formal" berarti bahwa notasi ini memiliki bentuk determinan, tetapi tidak secara ketat mengikuti definisi; karena itu adalah mnemonik yang digunakan untuk mengingat perluasan produk silang.

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ a b Jarchow 1981, hlm. 47-55.
  2. ^ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-16. 
  4. ^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Diakses tanggal 2020-08-16. 
  5. ^ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. hlm. 9–10. ISBN 1447148207. 
  6. ^ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometryPerlu mendaftar (gratis) (edisi ke-2nd). Orlando: Academic Press. hlm. 200. ISBN 0080874398. 
  7. ^ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (edisi ke-2nd). New York: Springer. hlm. 13. ISBN 0387316094. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]